Введение

Теоремы о сходимости ограниченных монотонных последовательностей
В области математического анализа, теорема о монотонной сходимости — это любое из ряда связанных теорем, доказывающих сходимость монотонных последовательностей (последовательностей, являющихся неубывающими или невозрастающими), которые также ограничены. Неформально, эти теоремы утверждают, что если последовательность возрастает и ограничена сверху, то она сходится к своему верхнему пределу (супремуму); аналогично, если последовательность убывает и ограничена снизу, то она сходится к своему нижнему пределу (инфимуму).

Лемма 1

Если последовательность действительных чисел возрастает и ограничена сверху, то её супремум является пределом.

Доказательство

Пусть задана такая последовательность, и пусть является множеством её членов. По предположению, множество не пусто и ограничено сверху. По свойству наименьшей верхней границы действительных чисел, существует и конечно. Теперь, для каждого ε > 0, существует такое n, что |aₙ - L| < ε, поскольку иначе L является верхней границей множества, что противоречит определению L. Тогда, поскольку последовательность возрастающая, а L – её наименьшая верхняя граница, для каждого n мы имеем aₙ ≤ L. Следовательно, по определению, предел последовательности равен L.

Лемма 2

Если последовательность действительных чисел убывающая и ограничена снизу, то ее инфимум является пределом.

Доказательство

Доказательство аналогично доказательству для случая, когда последовательность возрастающая и ограничена сверху.

Теорема

Если {an} – монотонная последовательность действительных чисел (то есть, если an ≤ an+1 для всех n ≥ 1 или an ≥ an+1 для всех n ≥ 1), то эта последовательность имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена.

Доказательство

Направление "если": доказательство непосредственно следует из лемм. Направление "только если": Согласно (ε, δ)-определению предела, любая последовательность с конечным пределом обязательно ограничена.

Лемма Беппо Леви

Следующий результат принадлежит Беппо Леви, который в 1906 году доказал небольшое обобщение более раннего результата Анри Лебега. Далее под будет пониматься алгебра борелевских множеств на . По определению, содержит множество и все борелевские подмножества .

Доказательство

Это доказательство не опирается на лемму Фату, однако мы объясняем, как эта лемма могла бы быть применена. Те, кому неинтересна независимость данного доказательства от леммы Фату, могут пропустить приведенные ниже промежуточные результаты.

Интеграл Лебега как мера

Лемма 1. Пусть (Ω, Σ) — измеримое пространство. Рассмотрим простую измеримую неотрицательную функцию f на Σ. Для подмножества A ∈ Σ определим

μ(A) = ∫_A f dν,

где ν — мера на (Ω, Σ). Тогда μ является мерой на Σ.

"Продолжение снизу"

Следующее свойство является прямым следствием определения меры. Лемма 2. Пусть μ — мера, и {An}n≥1 — неубывающая цепь, где все множества An измеримы. Тогда

Доказательство теоремы

Шаг 1. Начнем с доказательства измеримости . Как и ранее, пусть – пространство с мерой, и пусть снова – последовательность измеримых неотрицательных функций. Однако мы не предполагаем, что они точечно неубывающие. Вместо этого, мы предполагаем, что сходится почти всюду по , и определяем как точечный предел . Кроме того, мы предполагаем, что почти всюду для всех . Тогда измерима, и существует, и

Как и прежде, измеримость следует из того, что почти всюду. Перестановка пределов и интегралов является прямым следствием леммы Фату. По лемме Фату имеем , а затем, благодаря стандартным свойствам пределов и монотонности, Следовательно, и оба равны . Таким образом, существует и равен .