Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дарбукс туындысы - көптүрлілік пен Лай тобы арасындағы картаның стандартты туындысының нұсқасы. Бұл бір айнымалы туындының табиғи жалпылауы деп айтуға болады. Ол калькульдің бір айнымалы негізгі теоремасын жоғары өлшемдерге жалпылауға мүмкіндік береді, бұл жалпылаудан басқа жолмен, бұл Стоукс теоремасы.
The Darboux derivative of a map between a manifold and a Lie group is a variant of the standard derivative. It is arguably a more natural generalization of the single variable derivative. It allows a generalization of the single variable fundamental theorem of calculus to higher dimensions, in a different vein than the generalization that is Stokes' theorem.
Ресми анықтама
Бұл Lie тобы болсын, ал Lie алгебрасы болсын. Maurer Cartan формасы, , - бұл (сағ. Lie алгебрасы бағаланған түрінде) барлық үшін және Мұнда элементтің сол жақ көбейтуін білдіреді және оның туындысы болады Let smooth manifold және Darboux derivative арасындағы тегіс функция болады . Содан кейін Darboux туындысы - бұл тегіс бағаланған түр , by-тің кері қайтуы карта интеграл немесе примитив деп аталады .
Let be a Lie group, and let be its Lie algebra. The Maurer Cartan form, , is the smooth valued form on (cf. Lie algebra valued form) defined by
for all and Here denotes left multiplication by the element and is its derivative at
Let be a smooth function between a smooth manifold and Then the Darboux derivative of is the smooth valued form
the pullback of by The map is called an integral or primitive of .
Табиғи түрде?
Дарбукс туындысын бір айнымалы калькульдің туындысының табиғи жалпылануы деп атаудың себебі мынада. Бір айнымалы есептеуде функцияның туындысы домендегі әрбір нүктеге бір санды береді. Деривативтердің жалпы көптүрлі идеяларына сәйкес, дериватив домендегі әр нүктеге домен нүктесіндегі тангенстік кеңістіктен сурет нүктесіндегі тангенстік кеңістікке дейінгі сызықтық картаны береді. Бұл туынды екі деректі қамтиды: домендік нүкте мен сызықтық картаның бейнесі. Бір айнымалылы есептеуде біз кейбір ақпаратты жоғалтамыз. Біз тек сызықтық картаны скалярлық көбейту агенті (яғни сан) түрінде сақтаймыз. Дериваттың тек сызықтық карталық аспектісін сақтау туралы осы конвенцияны негіздеудің бір жолы - қосудың (өте қарапайым) Ли тобының құрылымына жүгіну. Кез келген Ли тобының тангенстік бумасын сол (немесе оң) көбейту арқылы қарапайымдастыруға болады. Бұл дегеніміз, кез келген тангенстік кеңістік , , -тің тангенстік кеңістігімен сәйкестікте анықталуы мүмкін, бұл Ли алгебрасы. Бұл жағдайда сол және оң көбейту жай ғана аудару болып табылады. Көптік түрдегі туындыны тангенс кеңістігін қарапайымдастыру арқылы құрастыра отырып, домендегі әр нүкте үшін домен нүктесіндегі тангенс кеңістіктен In символдарының Лей алгебрасына дейінгі сызықтық картаны аламыз, әрқайсысы үшін картаға қарастырамыз. Қатысқан тангенс кеңістіктер бір өлшемді болғандықтан, бұл сызықтық карта тек кейбір скалярмен көбейту. (Бұл скаляр векторлық кеңістік үшін қандай негізді қолданғанымызға байланысты өзгеруі мүмкін, бірақ каноникалық бірлік векторлық өріс каноникалық негізді таңдайды, демек скалярдың каноникалық таңдауы.) Бұл скалярды әдетте осылай атаймыз .
The reason that one might call the Darboux derivative a more natural generalization of the derivative of single variable calculus is this. In single variable calculus, the derivative of a function assigns to each point in the domain a single number. According to the more general manifold ideas of derivatives, the derivative assigns to each point in the domain a linear map from the tangent space at the domain point to the tangent space at the image point. This derivative encapsulates two pieces of data: the image of the domain point and the linear map. In single variable calculus, we drop some information. We retain only the linear map, in the form of a scalar multiplying agent (i. e. a number). One way to justify this convention of retaining only the linear map aspect of the derivative is to appeal to the (very simple) Lie group structure of under addition. The tangent bundle of any Lie group can be trivialized via left (or right) multiplication. This means that every tangent space in may be identified with the tangent space at the identity, , which is the Lie algebra of In this case, left and right multiplication are simply translation. By post composing the manifold type derivative with the tangent space trivialization, for each point in the domain we obtain a linear map from the tangent space at the domain point to the Lie algebra of In symbols, for each we look at the map
Since the tangent spaces involved are one dimensional, this linear map is just multiplication by some scalar. (This scalar can change depending on what basis we use for the vector spaces, but the canonical unit vector field on gives a canonical choice of basis, and hence a canonical choice of scalar.) This scalar is what we usually denote by .
Бастапқылардың бірегейлігі
Егер көптік байланысқан болса және екеуі де , яғни , -ның примитивтері болса, онда қандай да бір тұрақты бар, сондықтан барлық үшін бұл тұрақты, әрине, анықталмаған интегралды алғанда пайда болатын тұрақтының аналогы болып табылады.
If the manifold is connected, and are both primitives of , i. e. , then there exists some constant such that
for all
This constant is of course the analogue of the constant that appears when taking an indefinite integral.