Введение

Дарбукс-производный карты между многообразием и группой Ли является вариантом стандартной производной. Это, возможно, более естественное обобщение производной одной переменной. Она позволяет обобщить фундаментальную теорему простых переменных в вышестоящих измерениях, в ином ключе, чем обобщение, которое является теоремой Стоукса.

Формальное определение

Пусть это группа Ли, и пусть это алгебра Ли. Форма Maurer Cartan, , является гладкой оценочной формой на (см. Lie algebra valued form) определяется для всех и Здесь обозначает левое умножение на элемент и является его производной в Let be гладкой функции между гладким многообразием и затем Дарбукс производная является гладкой оцененной формой pullback от Карта называется интегралом или примитивной .

Более естественно?

Причина, по которой можно назвать производную Дарбукса более естественным обобщением производной одномерного исчисления, заключается в следующем. В одномерном исчислении производная функции присваивает каждой точке в области одно число. Согласно более общим многообразным идеям производных, производная присваивает каждой точке в домене линейную карту от тангентного пространства в точке домена до тангентного пространства в точке изображения. Эта производная включает в себя две части данных: изображение точки домена и линейную карту. В одномерном исчислении мы упускаем некоторую информацию. Мы сохраняем только линейную карту в виде скалярного множителя (т.е. числа). Один из способов обосновать эту конвенцию сохранения только линейного аспекта карты производных - обратиться к (очень простой) структуре групп Ли под сложением. Тангенсная пучка любой группы Ли может быть тривиализирована через левое (или правое) умножение. Это означает, что каждое тангентное пространство в может быть идентифицировано с тангентным пространством при тождестве, , которое является алгеброй Ли. В этом случае левое и правое умножение просто перевод. Посткомпозиция производного многообразного типа с тривиализацией тангентного пространства, для каждой точки в домене мы получаем линейную карту от тангентного пространства в точке домена до алгебры Ли символов In, для каждого мы смотрим на карту. Поскольку касательные пространства являются одномерными, эта линейная карта является просто умножением на какой-то скаляр. (Этот скаляр может меняться в зависимости от того, какую основу мы используем для векторных пространств, но каноническое единичное векторное поле дает канонический выбор основы, а следовательно, и канонический выбор скаляра.) Этот скаляр обычно обозначается .

Уникальность примитивных

Если многообразие связано, и оба являются примитивами , то есть, то существует некоторая постоянная такая, что для всех Эта постоянная, конечно, является аналогом постоянной, которая появляется при принятии неопределенного интеграла.