Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дифференциалдық формалар бойынша операциялар
Operation on differential forms
Дифференциалданатын көптүрлілікте сыртқы туынды функцияның дифференциалын жоғары дәрежелі дифференциалдық формаларға кеңейтеді. Сыртқы туындыны қазіргі түрінде алғаш рет Эли Картан 1899 жылы сипаттаған. Соның нәтижесінде пайда болған есептеу, сыртқы есептеу деп аталады, және ол векторлық есептеуден алынған Стокс теоремасы, Гаусс теоремасы және Грин теоремасының табиғи, метрикаға тәуелсіз жалпыламасына мүмкіндік береді. Егер дифференциалдық k формасы көптүрліліктің әрбір нүктесіндегі шексіз кішкентай k параллелотоп арқылы өтетін ағынды өлшейтін болса, онда оның сыртқы туындысы әрбір нүктедегі (k + 1) параллелотоптың шекарасы арқылы өтетін таза ағынды өлшейтін болады.
On a differentiable manifold, the exterior derivative extends the concept of the differential of a function to differential forms of higher degree. The exterior derivative was first described in its current form by Élie Cartan in 1899. The resulting calculus, known as exterior calculus, allows for a natural, metric independent generalization of Stokes' theorem, Gauss's theorem, and Green's theorem from vector calculus. If a differential k form is thought of as measuring the flux through an infinitesimal k parallelotope at each point of the manifold, then its exterior derivative can be thought of as measuring the net flux through the boundary of a (k + 1) parallelotope at each point.
Анықтама
K дәрежелі дифференциалдық форманың сыртқы туындысы (осы жерде дифференциалдық k формасы немесе қысқаша k формасы деп те аталады) k+1 дәрежелі дифференциалдық форма болып табылады. Егер f тегіс функция болса (0 форма), онда f-тің сыртқы туындысы f-тің дифференциалы болып табылады. Яғни, df – кез келген тегіс векторлық өріс X үшін df(X) = dXf = 1 шартын қанағаттандыратын бірегей 1 формасы, мұндағы dXf – f-тің X бағытындағы бағыттық туындысы. Дифференциалдық формалардың сыртқы көбейтіндісі (сол символмен ∧ белгіленеді) олардың нүктелік сыртқы көбейтіндісі ретінде анықталады. Жалпы k формасының сыртқы туындысының эквивалентті әр түрлі анықтамалары бар.
The exterior derivative of a differential form of degree k (also differential k form, or just k form for brevity here) is a differential form of degree k + 1. If f is a smooth function (a 0 form), then the exterior derivative of f is the differential of f That is, df is the unique 1 form such that for every smooth vector field X, 1=df (X) = dX f , where dX f is the directional derivative of f in the direction of X. The exterior product of differential forms (denoted with the same symbol ∧) is defined as their pointwise exterior product. There are a variety of equivalent definitions of the exterior derivative of a general k form.
Мысалдар
1-ші мысал. Скалярлық өріс u үшін 1-форма негізін қарастырайық. Сыртқы туындысы:
Example 1. Consider over a 1 form basis for a scalar field u. The exterior derivative is:
Соңғы формула, онда жиындырма , сыртқы көбейтудің қасиеттерінен оңай шығады. Атап айтқанда, 2-ші мысал. 1=σ = u dx + v dy 1-форматын әрбір мүшеге ( және қарастыра отырып) жоғарыдағы формуланы қолданғанда, біз жиындыны аламыз.
The last formula, where summation starts at , follows easily from the properties of the exterior product. Namely,
Example 2. Let 1=σ = u dx + v dy be a 1 form defined over By applying the above formula to each term (consider and ) we have the sum
Жабық және нақты нысандар
k формасы ω жабық деп аталады, егер dω = 0 болса; жабық формалар d ядросы болып табылады. ω егер ω = dα болса, онда дәл деп аталады, мұнда α – (k − 1) формасы; дәл формалар d бейнесі болып табылады. Себебі, әрбір дәл форма жабық болады. Поинкаре леммасы бойынша, қысылғыш аймақта керісі де дұрыс.
A k form ω is called closed if 1=dω = 0; closed forms are the kernel of d. ω is called exact if 1=ω = dα for some (k − 1) form α; exact forms are the image of d. Because , every exact form is closed. The Poincaré lemma states that in a contractible region, the converse is true.
de Rham кохомологиясы
Сыртқы туынды d-ның , қасиеті болғандықтан, ол дифференциал (кобондари) ретінде көптіктерде де Рэм кохомологиясын анықтау үшін қолданылуы мүмкін. k-шы де Рэм кохомологиясы (тобы) – жабық k-формалардың, нақты k-формаларға қатысты модульдік кеңістігі; алдыңғы бөлімде айтылғандай, Пуанкаре леммасы осы векторлық кеңістіктердің k > 0 үшін, қысылатын аймақ үшін тривиальды екенін көрсетеді. Жұпсыздалған көптіктер үшін формалардың интегралдауы де Рэм кохомологиясынан ℝ үстіндегі сингулярлы кохомологияға табиғи гомоморфизмді анықтайды. Де Рэм теоремасы бұл бейнелеудің іс жүзінде изоморфизм екенін көрсетеді, бұл Пуанкаре леммасының кең ауқымды жалпыламасы. Жалпыланған Стокс теоремасы көрсеткендей, сыртқы туынды – сингулярлы симплекстердегі шекаралық оператордың «қос» операторы.
Because the exterior derivative d has the property that , it can be used as the differential (coboundary) to define de Rham cohomology on a manifold. The k th de Rham cohomology (group) is the vector space of closed k forms modulo the exact k forms; as noted in the previous section, the Poincaré lemma states that these vector spaces are trivial for a contractible region, for k > 0. For smooth manifolds, integration of forms gives a natural homomorphism from the de Rham cohomology to the singular cohomology over ℝ. The theorem of de Rham shows that this map is actually an isomorphism, a far reaching generalization of the Poincaré lemma. As suggested by the generalized Stokes' theorem, the exterior derivative is the "dual" of the boundary map on singular simplices.
Векторлы есептеудегі сыртқы туынды
Векторлық есептеу операторларының көпшілігі сыртқы дифференциацияның ерекше жағдайлары болып табылады, немесе олармен тығыз байланыста.
Most vector calculus operators are special cases of, or have close relationships to, the notion of exterior differentiation.