Введение

Операции над дифференциальными формами

На дифференцируемом многообразии внешняя производная расширяет понятие дифференциала функции на дифференциальные формы более высокой степени. Внешняя производная была впервые описана в ее современном виде Эли Картаном в 1899 году. Результирующий математический аппарат, известный как внешний анализ, позволяет естественно и независимо от метрики обобщить теорему Стокса, теорему Гаусса и теорему Грина из векторного анализа. Если дифференциальная k-форма рассматривается как измерение потока через бесконечно малый k-параллелотоп в каждой точке многообразия, то ее внешняя производная можно рассматривать как измерение суммарного потока через границу (k+1)-параллелотопа в каждой точке.

Определение

Внешняя производная дифференциальной формы степени k (также дифференциальная k-форма, или просто k-форма для краткости) является дифференциальной формой степени k + 1. Если f — гладкая функция (0-форма), то внешняя производная f является дифференциалом f. То есть, df — это единственная 1-форма, такая что для каждого гладкого векторного поля X выполняется равенство df(X) = dXf, где dXf — производная f по направлению X. Внешнее произведение дифференциальных форм (обозначается тем же символом ∧) определяется как их поточечное внешнее произведение. Существует множество эквивалентных определений внешней производной общей k-формы.

Примеры

Пример 1. Рассмотрим базис из одной дифференциальной формы для скалярного поля u. Внешняя производная:

Последняя формула, где суммирование начинается с i, легко вытекает из свойств внешнего произведения. А именно, Пример 2. Пусть 1-форма σ = u dx + v dy определена на области D. Применяя вышеуказанную формулу к каждому слагаемому (рассматривая dx и dy), мы получаем сумму.

Закрытые и точные формы

Форма k ω называется замкнутой, если dω = 0; замкнутые формы являются ядром оператора d. Форма ω называется точной, если ω = dα для некоторой (k − 1)-формы α; точные формы являются образом оператора d. Поскольку d∘d = 0, любая точная форма замкнута. Лемма Пуанкаре утверждает, что в стягиваемой области верно обратное.

Кохомология де Рама

Поскольку внешняя производная d обладает свойством , она может быть использована в качестве дифференциала (кограницы) для определения кохомологии де Рама на многообразии. k-я кохомология (группа) де Рама — это векторное пространство замкнутых k-форм по модулю точных k-форм; как отмечалось в предыдущем разделе, лемма Пуанкаре утверждает, что эти векторные пространства тривиальны для стягиваемой области при k > 0. Для гладких многообразий интегрирование форм задает естественный гомоморфизм из кохомологии де Рама в сингулярную кохомологию над ℝ. Теорема де Рама показывает, что это отображение является изоморфизмом, представляющим собой далеко идущее обобщение леммы Пуанкаре. Как следует из обобщенной теоремы Стокса, внешняя производная является "дуальной" к граничному оператору на сингулярных симплексах.

Внешняя производная в векторном исчислении

Большинство операторов векторного исчисления являются частными случаями или тесно связаны с понятием внешней дифференциации.