Кіріспе
Математикада, әсіресе дифференциалдық геометрияда, тегіс көптіктің котангенттік буыны – көптіктің әрбір нүктесіндегі котангенттік кеңістіктердің векторлық буыны. Оны тангенстік буынға жұптасқан буын деп те сипаттауға болады. Бұл түсінік күрделі көптіктіктер сияқты тегіс көптіктерге қарағанда күрделірек құрылымы бар санаттарға, мысалы алгебралық сорттар немесе схемаларға (котангенттік шоқ түрінде) жалпылауға болады. Тегіс жағдайда, кез келген Риманн метрикасы немесе симплектикалық форма котангенттік буын мен тангенстік буын арасында изоморфизмді қамтамасыз етеді, бірақ олар басқа санаттарда әдетте изоморфты болмайды.
In mathematics, especially differential geometry, the cotangent bundle of a smooth manifold is the vector bundle of all the cotangent spaces at every point in the manifold. It may be described also as the dual bundle to the tangent bundle. This may be generalized to categories with more structure than smooth manifolds, such as complex manifolds, or (in the form of cotangent sheaf) algebraic varieties or schemes. In the smooth case, any Riemannian metric or symplectic form gives an isomorphism between the cotangent bundle and the tangent bundle, but they are not in general isomorphic in other categories.
Диагональды морфизм арқылы формальды анықтама
Котангенттік түйінді анықтаудың бірнеше эквивалентті жолдары бар. Олардың бірі – Δ диагональдық бейнелеу және туындылар арқылы. M тегіс көптік болсын, ал M×M – M-нің өзімен Декарт көбейтіндісі. Δ диагональдық бейнелеуі M-дегі p нүктесін M×M нүктесіне (p,p) жібереді. Δ-ның кескіні диагональ деп аталады. M×M-дегі диагональде нөлге тең болатын тегіс функциялардың шоғы болсын. Содан кейін, шығымдық шоғы – жоғары ретті мүшелерге қатысты диагональде нөлге тең болатын функциялардың эквиваленттілік кластарынан тұрады. Котангенттік шоғы осы шоқтың M-ге кері бейнеленуі ретінде анықталады:
Тейлор теоремасы бойынша, бұл M-нің тегіс функцияларының шоғына қатысты модульдердің локальды бос шоғы болып табылады. Осылайша, ол M-дегі векторлық түйінді анықтайды: котангенттік түйін. Котангенттік түйіннің тегіс қималары (дифференциалдық) бір формалар деп аталады.
Контраварианттылық қасиеттері
Көптүрліліктердің тегіс морфизмі M-де кері тарту шоғын тудырады. Векторлық бундельдердің индуцирленген бейнесі бар.
Котангентті түйін фазалық кеңістік ретінде
Котангенттік бундель X = T*M векторлық бундель болғандықтан, оны өз алдына көптік ретінде қарастыруға болады. Өйткені әрбір нүктеде M-нің тангенстік бағыттары талшықтағы олардың қос ковекторларымен жұптастырылуы мүмкін, сондықтан X-те тавтологиялық бір форма деп аталатын каноникалық бір форма θ бар, ол төменде талқыланады. θ-ның сыртқы туындысы симплектикалық 2-форма болып табылады, одан X үшін дегенерацияланбаған көлем формасын құруға болады. Мысалы, осының нәтижесінде X әрқашан бағытталған көптүрлілік болады (тангенс бундели TX бағытталған векторлық бундель). Котангенттік бундельде координаттардың ерекше жиынтығын анықтауға болады; олар каноникалық координаттар деп аталады. Котангенттік бундельдерді симплектикалық көптүрліліктер ретінде қарастыруға болатындықтан, котангенттік бундельдегі кез келген нақты функция гамильтониан ретінде түсіндірілуі мүмкін; осылайша котангенттік бундель гамильтониандық механиканың орын алатын фазалық кеңістік ретінде түсінілуі мүмкін.
Тавтологиялық біртектілік
Котангенттік түйін каноникалық бір форма θ-ны алып жүреді, ол симплектикалық потенциал, Пуанкаре 1-формасы немесе Лиувилл 1-формасы деп те аталады. Бұл T*M-ді өз алдына көптік ретінде қарастыратын болсақ, T*(T*M) векторлық түйінінің T*M арқылы каноникалық қимасы бар екенін білдіреді. Бұл қиманы бірнеше тәсілмен құрастыруға болады. Ең қарапайым әдіс жергілікті координаттарды пайдалану болып табылады. Егер xi – базалық көптік M-дегі жергілікті координаттар болса, онда осы базалық координаттар бойынша пішін pi болады: T*M-нің нақты бір нүктесіндегі бір форманың пі dxi түрінде болады (Эйнштейннің жиынтықтау конвенциясы қолданылады). Осылайша, T*M көптігінің өзі жергілікті координаттарды (xi, pi) алып жүреді, мұнда x – базадағы координаттар, ал p – талшықтағы координаттар. Каноникалық бір форма осы координаттарда былай беріледі: Ішкі тұрғыдан алғанда, каноникалық бір форманың T*M-нің әрбір белгілі бір нүктесіндегі мәні кері проекция ретінде беріледі. Атап айтқанда, π: T*M → M – түйіннің проекциясы болсын. Tx*M нүктесін алу M-дегі x нүктесін және x-тегі ω бір формасын таңдаумен бірдей, ал тавтологиялық бір форма θ (x, ω) нүктесіне мән тағайындайды. Яғни, котангенттік түйіннің тангенттік түйініндегі v векторы үшін (x, ω) нүктесіндегі v-ға тавтологиялық бір форманы қолдану, v-ді x-тегі тангенттік түйінге dπ: T(T*M) → TM арқылы проекциялау және осы проекцияға ω-ны қолдану арқылы есептеледі. Тавтологиялық бір форманың M базасындағы бір форманың кері проекциясы емес екеніне назар аударыңыз.
This section can be constructed in several ways. The most elementary method uses local coordinates. Suppose that xi are local coordinates on the base manifold M. In terms of these base coordinates, there are fibre coordinates pi : a one form at a particular point of T*M has the form pi dxi (Einstein summation convention implied). So the manifold T*M itself carries local coordinates (xi, pi) where the x's are coordinates on the base and the p's are coordinates in the fibre. The canonical one form is given in these coordinates by
Intrinsically, the value of the canonical one form in each fixed point of T*M is given as a pullback. Specifically, suppose that π : T*M → M is the projection of the bundle. Taking a point in Tx*M is the same as choosing of a point x in M and a one form ω at x, and the tautological one form θ assigns to the point (x, ω) the value
That is, for a vector v in the tangent bundle of the cotangent bundle, the application of the tautological one form θ to v at (x, ω) is computed by projecting v into the tangent bundle at x using dπ : T(T*M) → TM and applying ω to this projection. Note that the tautological one form is not a pullback of a one form on the base M.
Симплекстік форма
Котангенттік түйінде каноникалық симплектикалық 2-форма бар, ол таутологиялық бір форманың сыртқы туындысы, симплектикалық потенциал ретінде. Бұл форманың шынымен симплектикалық екенін дәлелдеу үшін симплектикалық болудың жергілікті қасиет екенін ескеру жеткілікті: котангенттік түйін жергілікті түрде тривиалды болғандықтан, бұл анықтаманы тек қарастыру керек. Бірақ онда анықталған бір форма - бұл қосындысы, ал дифференциал - каноникалық симплектикалық форма, қосындысы.