Введение

Векторный пучок котангентных пространств в каждой точке многообразия. В математике, особенно в дифференциальной геометрии, котангентный пучок гладкого многообразия представляет собой векторный пучок, состоящий из котангентных пространств в каждой точке многообразия. Его также можно описать как двойственный пучок к касательному пучку. Это понятие может быть обобщено на категории с более сложной структурой, чем гладкие многообразия, такие как комплексные многообразия, или (в форме котангентного пучка) алгебраические многообразия или схемы. В случае гладких многообразий любая риманова метрика или симплектическая форма задает изоморфизм между котангентным и касательным пучками, однако в других категориях они, как правило, не изоморфны.

Формальное определение через диагональный морфизм

Существует несколько эквивалентных способов определения котангентного расслоения. Один из способов использует диагональное отображение Δ и зародыши. Пусть M – гладкое многообразие, а M × M – декартово произведение M на себя. Диагональное отображение Δ отображает точку p из M в точку (p, p) в M × M. Образ Δ называется диагональю. Пусть 𝒪 – пучок зародышей гладких функций на M × M, обращающихся в ноль на диагонали. Тогда фактор-пучок 𝒪/I² состоит из классов эквивалентности функций, обращающихся в ноль на диагонали по модулю членов более высокого порядка. Котангентное расслоение определяется как обратный образ этого пучка на M:

По теореме Тейлора, это локально свободное расслоение модулей относительно пучка зародышей гладких функций на M. Таким образом, оно определяет векторное расслоение на M: котангентное расслоение. Гладкие сечения котангентного расслоения называются (дифференциальными) одномерными формами.

Свойства контравариантности

Гладкий морфизм многообразий индуцирует обратное отображение пучка на M. Существует индуцированное отображение векторных расслоений.

Котангентная пучка как фазовое пространство

Поскольку котангенциальный расслоение X = T*M является векторным расслоением, его можно рассматривать как многообразие само по себе. Так как в каждой точке касательные направления к M можно сопоставить с их дуальными ковекторами в волокне, X обладает канонической 1-формой θ, называемой тавтологической 1-формой, которая обсуждается ниже. Внешняя производная θ является симплектической 2-формой, из которой можно построить невырожденную объёмную форму для X. Например, вследствие этого X всегда является ориентируемым многообразием (тангенциальное расслоение TX является ориентируемым векторным расслоением). На котангенциальном расслоении можно определить специальный набор координат, называемых каноническими координатами. Поскольку котангенциальные расслоения можно рассматривать как симплектические многообразия, любую вещественную функцию на котангенциальном расслоении можно интерпретировать как гамильтониан; таким образом, котангенциальное расслоение можно понимать как фазовое пространство, на котором развивается гамильтонова механика.

Тавтологическая форма

Котангентный расслоение несет каноническую одномерную форму θ, также известную как симплектический потенциал, форма Пуанкаре 1 или форма Лиувиля 1. Это означает, что если мы рассматриваем T*M как многообразие само по себе, существует канонический сечение векторного расслоения T*(T*M) над T*M.

Это сечение может быть построено несколькими способами. Наиболее элементарный метод использует локальные координаты. Предположим, что xi – это локальные координаты на базовом многообразии M. В терминах этих базовых координат существуют координаты волокна pi: одномерная форма в определенной точке T*M имеет вид pi dxi (подразумевается соглашение Эйнштейна о суммировании). Таким образом, само многообразие T*M несет локальные координаты (xi, pi), где x – это координаты на базе, а p – это координаты в волокне. Каноническая одномерная форма в этих координатах задается следующим образом:

По сути, значение канонической одномерной формы в каждой фиксированной точке T*M задается как обратное отображение (pullback). В частности, предположим, что π: T*M → M является проекцией расслоения. Выбор точки в Tx*M эквивалентен выбору точки x в M и одномерной формы ω в x, и тавтологическая одномерная форма θ присваивает точке (x, ω) значение

То есть, для вектора v в касательном расслоении котангентного расслоения, применение тавтологической одномерной формы θ к v в (x, ω) вычисляется путем проецирования v в касательное расслоение в x с использованием dπ: T(T*M) → TM и применения ω к этой проекции. Обратите внимание, что тавтологическая одномерная форма не является обратным отображением от одномерной формы на базе M.

Симплектическая форма

Котангентный расслоение имеет каноническую симплектическую 2-форму, как внешнюю производную тавтологической 1-формы, симплектического потенциала. Доказать, что эта форма действительно симплектическая, можно, заметив, что симплектичность – это локальное свойство: поскольку котангентный расслоение локально тривиально, достаточно проверить это определение на некотором открытом множестве. Но там 1-форма, которая определена, является суммой , а её дифференциал – каноническая симплектическая форма, сумма .