Кіріспе
Есептеудегі экстремумдар теоремасы бойынша, егер нақты мәнді функция жабық аралықта үздіксіз болса, онда ол аралықта ең жоғарғы және ең төменгі мәнге ие болады, кем дегенде бір рет. Яғни, аралықта және сандары бар, олар үшін:
Continuous real function on a closed interval has a maximum and a minimum
In calculus, the extreme value theorem states that if a real valued function is continuous on the closed and bounded interval , then must attain a maximum and a minimum, each at least once. That is, there exist numbers and in such that:
The extreme value theorem is more specific than the related boundedness theorem, which states merely that a continuous function on the closed interval is bounded on that interval; that is, there exist real numbers and such that:
This does not say that and are necessarily the maximum and minimum values of on the interval which is what the extreme value theorem stipulates must also be the case. The extreme value theorem is used to prove Rolle's theorem. In a formulation due to Karl Weierstrass, this theorem states that a continuous function from a non empty compact space to a subset of the real numbers attains a maximum and a minimum.
Экстремумдар теоремасы, байланысты шектелу теоремасынан гөрі нақтырақ, ол жабық аралықтағы үздіксіз функция сол аралықта шектеулі екенін айтады; яғни, және нақты сандары бар, олар үшін:
Continuous real function on a closed interval has a maximum and a minimum
In calculus, the extreme value theorem states that if a real valued function is continuous on the closed and bounded interval , then must attain a maximum and a minimum, each at least once. That is, there exist numbers and in such that:
The extreme value theorem is more specific than the related boundedness theorem, which states merely that a continuous function on the closed interval is bounded on that interval; that is, there exist real numbers and such that:
This does not say that and are necessarily the maximum and minimum values of on the interval which is what the extreme value theorem stipulates must also be the case. The extreme value theorem is used to prove Rolle's theorem. In a formulation due to Karl Weierstrass, this theorem states that a continuous function from a non empty compact space to a subset of the real numbers attains a maximum and a minimum.
Бұл және міндетті түрде функцияның аралықтағы ең жоғарғы және ең төменгі мәндері екенін білдірмейді, бұл экстремумдар теоремасы талап ететін жағдай. Экстремумдар теоремасы Ролл теоремасын дәлелдеу үшін қолданылады. Карл Вейерштрасс тұжырымы бойынша, бұл теорема бос емес, компакт кеңістіктен нақты сандардың ішкі жиынына үздіксіз функция ең жоғарғы және ең төменгі мәнге жетеді деп айтады.
Continuous real function on a closed interval has a maximum and a minimum
In calculus, the extreme value theorem states that if a real valued function is continuous on the closed and bounded interval , then must attain a maximum and a minimum, each at least once. That is, there exist numbers and in such that:
The extreme value theorem is more specific than the related boundedness theorem, which states merely that a continuous function on the closed interval is bounded on that interval; that is, there exist real numbers and such that:
This does not say that and are necessarily the maximum and minimum values of on the interval which is what the extreme value theorem stipulates must also be the case. The extreme value theorem is used to prove Rolle's theorem. In a formulation due to Karl Weierstrass, this theorem states that a continuous function from a non empty compact space to a subset of the real numbers attains a maximum and a minimum.
Тарих
Экстремалды мән теоремасын алғаш рет 1830 жылдары Бернард Болцано «Функциялар теориясы» еңбегінде дәлелдеген, бірақ бұл еңбек 1930 жылға дейін жарияланбады. Болцаноның дәлелі жабық аралықтағы үздіксіз функцияның шектеулі екенін көрсетуден және содан кейін функцияның максималды және минималды мәнге жететінін көрсетуден тұрды. Екі дәлелдеуде де қазіргі кезде Болцано-Вейерштрасс теоремасы деп белгілі нәрсе қолданылды.
Теорема қолданылмайтын функциялар
Келесі мысалдар теореманы қолдану үшін функция доменінің жабық және шектелген болуын қажет ететінін көрсетеді. Әрқайсысы берілген интервалда максимумға жете алмайды. жоғарыдан шектелмейді. берілген интервалда шектелген, бірақ ең кіші жоғарғы шегіне жете алмайды. жоғарыдан шектелмейді. берілген интервалда шектелген, бірақ ең кіші жоғарғы шегіне ешқашан жете алмайды. Соңғы екі мысалда анықтама бергенде, екі теореманың да үнемілікті талап ететіні көрінеді.
Defining in the last two examples shows that both theorems require continuity on .
Метрик және топологиялық кеңістікке жалпылау
Нақты сызықтан метрикалық кеңістіктерге және жалпы топологиялық кеңістіктерге көшкенде, жабық шектелген аралықтың тиісті жалпыламасы – компакт жиын. Егер жиынның келесі қасиеті болса, ол компакт деп аталады: ашық жиындардың кез келген жиынтығынан , сондай шекті ішкі жиынтықты таңдауға болады, одан . Бұл әдетте « -ның кез келген ашық жабынында шекті ішкі жабын бар» деп қысқаша айтылады. Хайне-Борель теоремасы бойынша, нақты сызықтың ішкі жиыны оның жабық және шектелген болған жағдайда ғана компакт болады. Сәйкесінше, метрикалық кеңістікте Heine-Борель қасиеті бар егер әрбір жабық және шектелген жиын сонымен бірге компакт болса. Ұзындығы үзділіссіз функция ұғымын да жалпылауға болады. Егер топологиялық кеңістіктер берілген болса, функция егер әрбір ашық жиын үшін , сондай-ақ ашық болса, үзділіссіз деп аталады. Осы анықтамаларға сүйене отырып, үзділіссіз функциялар компактты сақтайтынын көрсетуге болады:
Теорема. Егер және топологиялық кеңістіктер болса, – үзділіссіз функция, ал – компакт болса, онда да компакт болады. Атап айтқанда, егер , онда бұл теорема кез келген компакт жиын үшін жабық және шектелген екенін білдіреді, бұл өз кезегінде кез келген (бос емес) компакт жиында жоғарғы және төменгі шектеріне жетеді. Осылайша, біз шекті мән теоремасының келесі жалпыламасын аламыз: