Введение

Концепция математического анализа. Непрерывная вещественная функция на замкнутом интервале имеет максимум и минимум.

В математическом анализе теорема о наибольшем и наименьшем значениях утверждает, что если вещественнозначная функция непрерывна на замкнутом и ограниченном интервале , то она должна достигать максимума и минимума, по крайней мере, один раз каждый. То есть, существуют числа и в такие, что:

Теорема о наибольшем и наименьшем значениях более конкретна, чем связанная теорема об ограниченности, которая утверждает, что непрерывная функция на замкнутом интервале ограничена на этом интервале; то есть, существуют вещественные числа и такие, что:

Это не означает, что и обязательно являются максимальным и минимальным значениями функции на интервале , что как раз и требует теорема о наибольшем и наименьшем значениях. Теорема о наибольшем и наименьшем значениях используется для доказательства теоремы Ролля. В формулировке, предложенной Карлом Вейерштрассом, эта теорема утверждает, что непрерывная функция из непустого компактного пространства в подмножество действительных чисел достигает максимума и минимума.

История

Теорема о крайних значениях была впервые доказана Бернардом Болцано в 1830-х годах в труде «Теория функций», однако эта работа оставалась неопубликованной до 1930 года. Доказательство Болцано заключалось в демонстрации ограниченности непрерывной функции на замкнутом интервале, а затем – в том, что функция принимает максимальное и минимальное значения. Оба доказательства опирались на то, что сегодня известно как теорема Болцано — Вейерштрасса.

Функции, к которым теорема не применима

Следующие примеры показывают, почему область определения функции должна быть замкнутой и ограниченной, чтобы к ней можно было применить теорему. Ни одна из них не достигает максимума на заданном интервале. Функция, определенная на , не ограничена сверху. Функция, определенная на , ограничена, но не достигает своей верхней границы. Функция, определенная на , не ограничена сверху. Функция, определенная на , ограничена, но никогда не достигает своей верхней границы. Определение на в последних двух примерах показывает, что обе теоремы требуют непрерывности на .

Обобщение на метрические и топологические пространства

При переходе от вещественной прямой к метрическим пространствам и общим топологическим пространствам, подходящим обобщением замкнутого ограниченного интервала является компактное множество. Множество называется компактным, если оно обладает следующим свойством: из любого семейства открытых множеств, таких что , можно выбрать конечное подсемейство, такое что . Обычно это кратко формулируется как "любое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие". Теорема Хайне — Бореля утверждает, что подмножество вещественной прямой компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. Соответственно, метрическое пространство обладает свойством Хайне — Бореля, если каждое замкнутое и ограниченное множество также компактно. Понятие непрерывной функции также может быть обобщено. Для заданных топологических пространств функция называется непрерывной, если для любого открытого множества , множество также открыто. С учетом этих определений можно показать, что непрерывные функции сохраняют компактность:

Теорема. Если — топологические пространства, — непрерывная функция, и — компактное множество, то также компактно. В частности, если , то эта теорема подразумевает, что замкнуто и ограничено для любого компактного множества , что, в свою очередь, подразумевает, что достигает своего супремума и инфимума на любом (непустом) компактном множестве . Таким образом, мы получаем следующее обобщение теоремы о наибольшем и наименьшем значениях: