Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы математикалық нәтиже. Дифференциалдық геометрияда Майкл Атиях пен Исадор Сингердің (1963 жылы) дәлелдеген Атиях-Сингер индекс теоремасы, ықшам көптүрліліктегі эллипстік дифференциалдық оператор үшін аналитикалық индекс (шешімдер кеңістігінің өлшемімен байланысты) топологиялық индекске тең (кейбір топологиялық мәліметтермен анықталады) деп айтады. Ол Черн-Гаусс-Бонне теоремасы және Риман-Рох теоремасы сияқты көптеген басқа теоремаларды ерекше жағдайлар ретінде қамтиды және теориялық физикада қолданылады.
Mathematical result in differential geometry
In differential geometry, the Atiyah–Singer index theorem, proved by Michael Atiyah and Isadore Singer (1963), states that for an elliptic differential operator on a compact manifold, the analytical index (related to the dimension of the space of solutions) is equal to the topological index (defined in terms of some topological data). It includes many other theorems, such as the Chern–Gauss–Bonnet theorem and Riemann–Roch theorem, as special cases, and has applications to theoretical physics.
Тарих
Эллипстік дифференциалдық операторлар үшін индекс проблемасын Израиль Гельфанд қойды. Ол индекстің гомотопиялық инварианттығын байқады және оны топологиялық инварианттар арқылы есептеу формуласын сұрады. Кейбір ынталандыратын мысалдарға Риманн-Рох теоремасы және оның жалпылануы – Хирзебрух-Риманн-Рох теоремасы, сондай-ақ Хирзебрухтың қолтаңба теоремасы кірді. Фридрих Хирцебрух пен Арманд Борел спиндік көптүрліліктің Â туысының интегралдығын дәлелдеді, ал Атия бұл интегралдылықты Дирак операторының индексі ретінде түсіндіруге болады деп ұсынды (Дирак операторы 1961 жылы Атия мен Сингер қайта ашты). Атия-Сингер теоремасы 1963 жылы жарияланды. Бұл хабарламада келтірілген дәлел олардың ешқайсысы жарияламады, бірақ ол Палестің кітабында кездеседі. Ол сондай-ақ Париждегі Принстон университетінде Ричард Пале басқарған семинармен бір уақытта өткен "Семінар Картан Шварц 1963/64" жұмыстарында да бар. Париждегі соңғы баяндама Атия шектік коллекторлар тақырыбында болды. Олардың алғашқы жарияланған дәлелі бірінші дәлелдің кобордизм теориясын K-теориясымен алмастырды және олар осы арқылы басқа бірқатар мақалаларда әртүрлі жалпыламалардың дәлелдерін берді. 1965: Сергей П. Новиков тегіс көптүрліліктердегі рационалды Понтрягин кластарының топологиялық инварианттығы туралы нәтижелерін жариялады. Робион Кирби мен Лоран Сибенманның нәтижелері Рене Томның еңбегімен біріктіріліп, топологиялық көптүрліліктердегі рационалды Понтрягин кластарының бар екенін дәлелдеді. Рационалды Понтрягин кластары тегіс және топологиялық көптүрліліктердегі индекс теоремасының маңызды құрамдас бөліктері болып табылады. 1969: Майкл Атия кез келген метрикалық кеңістіктердегі абстрактілі эллиптік операторларды анықтады. Абстрактілі эллиптік операторлар Каспаровтың теориясы мен Коннстың коммутативті емес дифференциалдық геометриясының басты кейіпкерлеріне айналды. 1971: Изадор Сингер индекс теориясын одан әрі дамыту үшін жан-жақты бағдарлама ұсынды. 1972: Геннадий Г. Каспаров абстрактілі эллиптік операторлар арқылы K-гомологияны жүзеге асыру жөніндегі жұмысын жариялады. 1973: Атия, Рауль Ботт және Виджай Патоди Мельроуздың мақаласында сипатталған жылу теңдеуін қолдана отырып, индекс теоремасының жаңа дәлелін берді. 1977: Денис Салливан Липшиц және квазиконформдік құрылымдардың 4-тен басқа өлшемдегі топологиялық көптүрліліктерде болуы және бірегейлігі туралы теоремасын жариялады. 1983: Эдвард Виттен мен Луис Альварес Гауме идеяларымен шабыттанған Езра Гетцлер жергілікті Дирак операторлары болып табылатын операторлар үшін жергілікті индекс теоремасының қысқа дәлелін берді; бұл көптеген пайдалы жағдайларды қамтиды. 1983: Николае Телеман векторлық жиындықтардағы мәндері бар қолтаңба операторларының аналитикалық индекстері топологиялық инварианттар екенін дәлелдеді. 1984: Телеман топологиялық көптүрліліктердегі индекс теоремасын бекітті. 1986: Ален Конн өзінің коммутативті емес геометрия туралы маңызды еңбегін жариялады. 1989: Саймон К. Дональдсон мен Салливан 4-өлшемді квазиконформдік көптүрліліктердегі Янг-Милл теориясын зерттеді. Олар екінші дәрежелі дифференциалдық формаларда анықталған S қолтаңба операторын енгізді. 1990: Конн және Анри Московичи коммутативті емес геометрия контекстінде жергілікті индекс формуласын дәлелдеді. 1994: Конн, Салливан және Телеман квазиконформдік көптүрліліктердегі қолтаңба операторлары үшін индекс теоремасын дәлелдеді.
The index problem for elliptic differential operators was posed by Israel Gel'fand. He noticed the homotopy invariance of the index, and asked for a formula for it by means of topological invariants. Some of the motivating examples included the Riemann–Roch theorem and its generalization the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, and the Hirzebruch signature theorem. Friedrich Hirzebruch and Armand Borel had proved the integrality of the  genus of a spin manifold, and Atiyah suggested that this integrality could be explained if it were the index of the Dirac operator (which was rediscovered by Atiyah and Singer in 1961). The Atiyah–Singer theorem was announced in 1963. The proof sketched in this announcement was never published by them, though it appears in Palais's book. It appears also in the "Séminaire Cartan Schwartz 1963/64" that was held in Paris simultaneously with the seminar led by Richard Palais at Princeton University. The last talk in Paris was by Atiyah on manifolds with boundary. Their first published proof replaced the cobordism theory of the first proof with K theory, and they used this to give proofs of various generalizations in another sequence of papers. 1965: Sergey P. Novikov published his results on the topological invariance of the rational Pontryagin classes on smooth manifolds. Robion Kirby and Laurent C. Siebenmann's results, combined with René Thom's paper proved the existence of rational Pontryagin classes on topological manifolds. The rational Pontryagin classes are essential ingredients of the index theorem on smooth and topological manifolds. 1969: Michael Atiyah defines abstract elliptic operators on arbitrary metric spaces. Abstract elliptic operators became protagonists in Kasparov's theory and Connes's noncommutative differential geometry. 1971: Isadore Singer proposes a comprehensive program for future extensions of index theory. 1972: Gennadi G. Kasparov publishes his work on the realization of K homology by abstract elliptic operators. 1973: Atiyah, Raoul Bott, and Vijay Patodi gave a new proof of the index theorem using the heat equation, described in a paper by Melrose. 1977: Dennis Sullivan establishes his theorem on the existence and uniqueness of Lipschitz and quasiconformal structures on topological manifolds of dimension different from 4. 1983: Ezra Getzler motivated by ideas of Edward Witten and Luis Alvarez Gaume, gave a short proof of the local index theorem for operators that are locally Dirac operators; this covers many of the useful cases. 1983: Nicolae Teleman proves that the analytical indices of signature operators with values in vector bundles are topological invariants. 1984: Teleman establishes the index theorem on topological manifolds. 1986: Alain Connes publishes his fundamental paper on noncommutative geometry. 1989: Simon K. Donaldson and Sullivan study Yang–Mills theory on quasiconformal manifolds of dimension 4. They introduce the signature operator S defined on differential forms of degree two. 1990: Connes and Henri Moscovici prove the local index formula in the context of non commutative geometry. 1994: Connes, Sullivan, and Teleman prove the index theorem for signature operators on quasiconformal manifolds.
Нөмірлік
X – шегі жоқ, тегіс, ықшам көпқырлы. E және F – X үстіндегі тегіс векторлық бунделдер. D – E-ден F-ке дейінгі эллиптік дифференциалды оператор. Сондықтан, жергілікті координаттарда ол дифференциалды оператор ретінде әрекет етеді, E-нің тегіс қималарын F-тің тегіс қималарына жібереді.
X is a compact smooth manifold (without boundary). E and F are smooth vector bundles over X. D is an elliptic differential operator from E to F. So in local coordinates it acts as a differential operator, taking smooth sections of E to smooth sections of F.
Талдау индексі
Эллипстік дифференциалдық оператор D псевдоинверсияға ие болғандықтан, ол Фредгольм операторы болып табылады. Кез келген Фредгольм операторының D ядросының (шешімдері Df = 0) (шектелген) өлшемі мен D коядросының (Df = g сияқты біртекті емес теңдеудің оң жағындағы шектеулер, немесе эквивалентті түрде, қосымша оператордың ядросы) (шектелген) өлшемінің айырмасы ретінде анықталатын индексі бар. Басқаша айтқанда, Index(D) = dim Ker(D) − dim Coker(D) = dim Ker(D) − dim Ker(D*). Бұл кейде D-нің аналитикалық индексі деп аталады.
As the elliptic differential operator D has a pseudoinverse, it is a Fredholm operator. Any Fredholm operator has an index, defined as the difference between the (finite) dimension of the kernel of D (solutions of Df = 0), and the (finite) dimension of the cokernel of D (the constraints on the right hand side of an inhomogeneous equation like Df = g, or equivalently the kernel of the adjoint operator). In other words,
Index(D) = dim Ker(D) − dim Coker(D) = dim Ker(D) − dim Ker(D*). This is sometimes called the analytical index of D.
Мысал: Егер көптеуір шеңбер (R/Z ретінде қарастырылса) және D – d/dx − λ операторы болса, онда λ – кешенді тұрақты. (Бұл эллипстік оператордың ең қарапайым мысалы.) Онда ядро λ-ның 2πi-нің бүтін есесі болған жағдайда exp(λx)-тің еселіктерінің кеңістігі болады, әйтпесе 0 болады, ал қосымша оператордың ядросы λ-ның кешенді конъюгатымен ауыстырылған ұқсас кеңістік болады. Сондықтан D-нің индексі 0-ге тең. Бұл мысал эллипстік операторлардың ядросы мен коядросы эллипстік оператор өзгергенде үзіліспен секіре алатынын көрсетеді, сондықтан олардың өлшемдері үшін үздіксіз топологиялық деректер тұрғысынан жақсы формула жоқ. Дегенмен, ядро мен коядро өлшемдеріндегі секірулер бірдей болғандықтан, олардың өлшемдерінің айырмасымен берілген индекс, шын мәнінде, үздіксіз өзгереді және индекс теоремасы бойынша топологиялық деректер тұрғысынан берілуі мүмкін.
Example: Suppose that the manifold is the circle (thought of as R/Z), and D is the operator d/dx − λ for some complex constant λ. (This is the simplest example of an elliptic operator.) Then the kernel is the space of multiples of exp(λx) if λ is an integral multiple of 2πi and is 0 otherwise, and the kernel of the adjoint is a similar space with λ replaced by its complex conjugate. So D has index 0. This example shows that the kernel and cokernel of elliptic operators can jump discontinuously as the elliptic operator varies, so there is no nice formula for their dimensions in terms of continuous topological data. However the jumps in the dimensions of the kernel and cokernel are the same, so the index, given by the difference of their dimensions, does indeed vary continuously, and can be given in terms of topological data by the index theorem.
GrothendieckRiemannRoch-пен байланысты
Гротендик-Риман-Рох теоремасы индекс теоремасының негізгі қозғаушы күштерінің бірі болды, себебі индекс теоремасы нақты көпқырлылар жиынындағы осы теореманың аналогы болып табылады. Егер тығыз, тұрақты, дерлік күрделі көпқырлылардың бейнелеуі болса, онда коммутативті диаграмма бар. Егер ол нүкте болса, онда жоғарыда айтылған мәлімдеме қалпына келтіріледі. Мұндағы – күрделі векторлық шоғырлардың Гротендик тобы. Бұл коммутативті диаграмма GRR теоремасына формальды жағынан өте ұқсас, себебі оң жақтағы когомологиялық топтар тегіс түрлінің Чоу сақинасымен алмастырылады, ал сол жақтағы Гротендик тобы алгебралық векторлық шоғырлардың Гротендик тобымен беріледі.
The Grothendieck–Riemann–Roch theorem was one of the main motivations behind the index theorem because the index theorem is the counterpart of this theorem in the setting of real manifolds. Now, if there's a map of compact stably almost complex manifolds, then there is a commutative diagramif is a point, then we recover the statement above. Here is the Grothendieck group of complex vector bundles. This commutative diagram is formally very similar to the GRR theorem because the cohomology groups on the right are replaced by the Chow ring of a smooth variety, and the Grothendieck group on the left is given by the Grothendieck group of algebraic vector bundles.
Теорияға байланысты байланыс
PDF презентациясы.
Pdf presentation.
Сұхбаттардың сілтемелері
Р.Р. Сили және басқалар (1999) Индекс теориясы мен псевдодифференциалды операторлардың бастапқы кезеңдерінен естеліктер. 1998 жылдың қыркүйек айында Данияның Роскилде қаласында өткен симпозиумда кешкі ас ішінде болған бейресми әңгімелердің толық емес стенограммасы.
R. R. Seeley and other (1999) Recollections from the early days of index theory and pseudo differential operators A partial transcript of informal post–dinner conversation during a symposium held in Roskilde, Denmark, in September 1998.