Теорема Атия — Зингера: История и обобщения.

Введение

Математический результат в дифференциальной геометрии

В дифференциальной геометрии теорема об индексе Атияха — Сингера, доказанная Майклом Атияхом и Исадором Сингером (1963), утверждает, что для эллиптического дифференциального оператора на компактном многообразии аналитический индекс (связанный с размерностью пространства решений) равен топологическому индексу (определяемому на основе некоторых топологических данных). Она включает в себя множество других теорем, таких как теорема Черна — Гаусса — Бонне и теорема Римана — Роха, как частные случаи, и имеет приложения в теоретической физике.

История

Индексная проблема для эллиптических дифференциальных операторов была поставлена Израилем Гельфандом. Он заметил гомотопическую инвариантность индекса и запросил формулу для него с использованием топологических инвариантов. К числу мотивирующих примеров входили теорема Римана — Роха и её обобщение — теорема Хирцебруха — Римана — Роха, а также теорема о сигнатуре Хирцебруха. Фридрих Хирцебрух и Арман Борель доказали интегральность рода Â спинового многообразия, и Атия предположил, что эту интегральность можно объяснить, если рассматривать её как индекс оператора Дирака (который был заново открыт Атией и Сингером в 1961 году). Теорема Атия — Сингера была объявлена в 1963 году. Эскиз доказательства, представленный в этом объявлении, ими так и не был опубликован, хотя он появляется в книге Палеса. Он также содержится в «Семинаре Картана — Шварца 1963/64», который проходил в Париже одновременно с семинаром под руководством Ричарда Палеса в Принстонском университете. Последний доклад в Париже, сделанный Атией, был посвящен многообразиям с границей. Их первое опубликованное доказательство заменило теорию кобордизмов, использованную в первом доказательстве, K-теорией, и они использовали её для получения доказательств различных обобщений в серии последующих статей. 1965: Сергей П. Новиков опубликовал свои результаты о топологической инвариантности рациональных классов Понтрягина на гладких многообразиях. Результаты Робиона Кирби и Лорана Сибенманна, в сочетании со статьей Рене Тома, доказали существование рациональных классов Понтрягина на топологических многообразиях. Рациональные классы Понтрягина являются существенными компонентами теоремы об индексе для гладких и топологических многообразий. 1969: Майкл Атия определяет абстрактные эллиптические операторы на произвольных метрических пространствах. Абстрактные эллиптические операторы стали ключевыми фигурами в теории Каспарова и некоммутативной дифференциальной геометрии Коннеса. 1971: Изадор Сингер предложил всеобъемлющую программу для дальнейшего развития теории индексов. 1972: Геннадий Г. Каспаров опубликовал свою работу о реализации K-гомологии с помощью абстрактных эллиптических операторов. 1973: Атия, Рауль Ботт и Виджай Патоди представили новое доказательство теоремы об индексе с использованием уравнения теплопроводности, описанного в статье Мелроуза. 1977: Денис Салливан установил свою теорему о существовании и единственности структур Липшица и квазиконформных структур на топологических многообразиях размерности, отличной от 4. 1983: Эзра Гетцлер, вдохновленный идеями Эдварда Виттена и Луиса Альвареса Гаума, дал краткое доказательство теоремы о локальном индексе для операторов, являющихся локальными операторами Дирака; это охватывает многие полезные случаи. 1983: Николае Телеман доказал, что аналитические индексы операторов подписи со значениями в векторных расслоениях являются топологическими инвариантами. 1984: Телеман установил теорему об индексе на топологических многообразиях. 1986: Ален Конн опубликовал свою основополагающую работу по некоммутативной геометрии. 1989: Саймон К. Дональдсон и Салливан изучали теорию Янга — Миллса на квазиконформных многообразиях размерности 4. Они ввели оператор подписи S, определенный на дифференциальных формах второй степени. 1990: Коннес и Анри Московичи доказали формулу локального индекса в контексте некоммутативной геометрии. 1994: Коннес, Салливан и Телеман доказали теорему об индексе для операторов подписи на квазиконформных многообразиях.

The index problem for elliptic differential operators was posed by Israel Gel'fand. He noticed the homotopy invariance of the index, and asked for a formula for it by means of topological invariants. Some of the motivating examples included the Riemann–Roch theorem and its generalization the Hirzebruch–Riemann–Roch theorem, and the Hirzebruch signature theorem. Friedrich Hirzebruch and Armand Borel had proved the integrality of the Â genus of a spin manifold, and Atiyah suggested that this integrality could be explained if it were the index of the Dirac operator (which was rediscovered by Atiyah and Singer in 1961). The Atiyah–Singer theorem was announced in 1963. The proof sketched in this announcement was never published by them, though it appears in Palais's book. It appears also in the "Séminaire Cartan Schwartz 1963/64" that was held in Paris simultaneously with the seminar led by Richard Palais at Princeton University. The last talk in Paris was by Atiyah on manifolds with boundary. Their first published proof replaced the cobordism theory of the first proof with K theory, and they used this to give proofs of various generalizations in another sequence of papers. 1965: Sergey P. Novikov published his results on the topological invariance of the rational Pontryagin classes on smooth manifolds. Robion Kirby and Laurent C. Siebenmann's results, combined with René Thom's paper proved the existence of rational Pontryagin classes on topological manifolds. The rational Pontryagin classes are essential ingredients of the index theorem on smooth and topological manifolds. 1969: Michael Atiyah defines abstract elliptic operators on arbitrary metric spaces. Abstract elliptic operators became protagonists in Kasparov's theory and Connes's noncommutative differential geometry. 1971: Isadore Singer proposes a comprehensive program for future extensions of index theory. 1972: Gennadi G. Kasparov publishes his work on the realization of K homology by abstract elliptic operators. 1973: Atiyah, Raoul Bott, and Vijay Patodi gave a new proof of the index theorem using the heat equation, described in a paper by Melrose. 1977: Dennis Sullivan establishes his theorem on the existence and uniqueness of Lipschitz and quasiconformal structures on topological manifolds of dimension different from 4. 1983: Ezra Getzler motivated by ideas of Edward Witten and Luis Alvarez Gaume, gave a short proof of the local index theorem for operators that are locally Dirac operators; this covers many of the useful cases. 1983: Nicolae Teleman proves that the analytical indices of signature operators with values in vector bundles are topological invariants. 1984: Teleman establishes the index theorem on topological manifolds. 1986: Alain Connes publishes his fundamental paper on noncommutative geometry. 1989: Simon K. Donaldson and Sullivan study Yang–Mills theory on quasiconformal manifolds of dimension 4. They introduce the signature operator S defined on differential forms of degree two. 1990: Connes and Henri Moscovici prove the local index formula in the context of non commutative geometry. 1994: Connes, Sullivan, and Teleman prove the index theorem for signature operators on quasiconformal manifolds.

Обозначение

X — компактное гладкое многообразие (без границы). E и F — гладкие векторные расслоения над X. D — эллиптический дифференциальный оператор из E в F. Следовательно, в локальных координатах он действует как дифференциальный оператор, отображающий гладкие сечения E в гладкие сечения F.

Аналитический индекс

Поскольку эллиптический дифференциальный оператор D имеет псевдообратный, он является оператором Фредгольма. Любой оператор Фредгольма имеет индекс, определяемый как разность между (конечной) размерностью ядра D (решениями уравнения Df = 0) и (конечной) размерностью коядра D (ограничениями на правой стороне неоднородного уравнения вида Df = g, или, эквивалентно, ядром сопряженного оператора). Другими словами,
Index(D) = dim Ker(D) − dim Coker(D) = dim Ker(D) − dim Ker(D*). Это иногда называют аналитическим индексом D.

Пример: Предположим, что многообразие — это окружность (рассматриваемая как R/Z), а D — оператор d/dx − λ для некоторой комплексной константы λ. (Это самый простой пример эллиптического оператора.) Тогда ядро является пространством кратных exp(λx), если λ является целым кратным 2πi, и равно 0 в противном случае, а ядро сопряженного оператора — аналогичное пространство, где λ заменено на его комплексно сопряженное. Таким образом, D имеет индекс 0. Этот пример показывает, что ядро и коядро эллиптических операторов могут скачкообразно изменяться при варьировании эллиптического оператора, поэтому не существует простой формулы для их размерностей в терминах непрерывных топологических данных. Однако скачки в размерностях ядра и коядра одинаковы, поэтому индекс, заданный разностью их размерностей, действительно изменяется непрерывно и может быть выражен через топологические данные теоремой об индексе.

Связь с Гротендик Риман Рох

Теорема Гротендика — Римана — Роха была одной из главных мотиваций для построения теоремы об индексе, поскольку теорема об индексе является аналогом этой теоремы в контексте вещественных многообразий. Теперь, если задано отображение компактных стабильно почти комплексных многообразий, то существует коммутативная диаграмма. Если отображение является точкой, то мы получаем вышеупомянутое утверждение. Здесь — группа Гротендика комплексных векторных расслоений. Эта коммутативная диаграмма формально очень похожа на теорему GRR, поскольку группы когомологий справа заменены кольцом Чоу гладкого многообразия, а группа Гротендика слева задается группой Гротендика алгебраических векторных расслоений.

Ссылки на теорию

Презентация в формате PDF.

Ссылки на интервью

Р. Р. Сили и другие (1999) Воспоминания о ранних днях теории индексов и псевдодифференциальных операторов. Частичная расшифровка неформальной беседы после ужина во время симпозиума, проходившего в Роскильде, Дания, в сентябре 1998 года.