Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада Пуассон алгебрасы – ассоциативтік алгебра, сонымен қатар Лейбниц заңына да қанағаттандыратын Ли скобкасымен бірге. Яғни, скобка да туынды болып табылады. Пуассон алгебралары Гамильтондық механикада табиғи түрде кездеседі, сондай-ақ кванттық топтарды зерттеуде орталық рөл атқарады. Пуассон алгебралық құрылымы бар кеңістіктер Пуассон кеңістіктері деп аталады, олардың ішінде симплектикалық кеңістіктер және Пуассон-Ли топтары ерекше жағдай болып табылады. Алгебра Симеон Денис Пуассонның құрметіне аталған.
In mathematics, a Poisson algebra is an associative algebra together with a Lie bracket that also satisfies Leibniz's law; that is, the bracket is also a derivation. Poisson algebras appear naturally in Hamiltonian mechanics, and are also central in the study of quantum groups. Manifolds with a Poisson algebra structure are known as Poisson manifolds, of which the symplectic manifolds and the Poisson–Lie groups are a special case. The algebra is named in honour of Siméon Denis Poisson.
Мысалдар
Пуассон алгебралары әртүрлі салаларда кездеседі.
Poisson algebras occur in various settings.
Симплектілік коллекторлар
Симплектикалық көптік үстіндегі нақты мәнді тегіс функциялар кеңістігі Пуассон алгебрасын құрайды. Симплектикалық көптік үстіндегі кез келген нақты мәнді H функциясы ХH векторлық өрісін, Гамильтондық векторлық өрісін тудырады. Содан кейін, симплектикалық көптік үстіндегі кез келген екі тегіс F және G функциялары берілгенде, Пуассон жақшасы былай анықталады:
The space of real valued smooth functions over a symplectic manifold forms a Poisson algebra. On a symplectic manifold, every real valued function H on the manifold induces a vector field XH, the Hamiltonian vector field. Then, given any two smooth functions F and G over the symplectic manifold, the Poisson bracket may be defined as:
Бұл анықтама ішінара сәйкес келеді, себебі Пуассон жақшасы туынды ретінде әрекет етеді. Балама ретінде, жақша {,} мына түрде анықталуы мүмкін:
This definition is consistent in part because the Poisson bracket acts as a derivation. Equivalently, one may define the bracket {,} as
мұнда [,] – Ли туындысы. Симплектикалық көптік R2n болғанда және стандартты симплектикалық құрылымға ие болса, Пуассон жақшасы белгілі бір түрін алады.
where [,] is the Lie derivative. When the symplectic manifold is R2n with the standard symplectic structure, then the Poisson bracket takes on the well known form
Ұқсас қарастырулар Пуассон көптіктерiне де қолданылады, олар симплектикалық көптіктерді симплектикалық бивектордың рангілік кемшілігіне рұқсат беру арқылы жалпылайды.
Similar considerations apply for Poisson manifolds, which generalize symplectic manifolds by allowing the symplectic bivector to be rank deficient.
Жалған алгебралар
Ли алгебрасының тензорлық алгебрасы Пуассон алгебрасы құрылымын қалыптастырады. Бұл құрылымның нақты мысалы универсалды орам алгебралары туралы мақалада келтірілген. Құрылымды салу үшін, ең алдымен Ли алгебрасының негізгі векторлық кеңістігінің тензорлық алгебрасы құрылады. Тензорлық алгебра – бұл аталған векторлық кеңістіктің барлық тензорлық көбейтімдерінің жиынтығы (тікелей қосындысы ⊕). Содан кейін Ли қашасы тұрақты түрде бүкіл тензорлық алгебраға көтерілуі мүмкін екенін көрсетуге болады: ол көбейту ережесіне де, Пуассон қашасының Якоби тепе-теңдігіне де бағынады, демек, көтерілген кезде Пуассон қашасы болады. Осылайша, {,} және ⊗ жұп өнімдері Пуассон алгебрасын құрайды. ⊗ коммутативті де, антикоммутативті де емес екенін ескеріңіз: ол тек ассоциативті. Сондықтан, кез келген Ли алгебрасының тензорлық алгебрасы Пуассон алгебрасы болады деген жалпы тұжырым бар. Универсалды орам алгебрасы Пуассон алгебрасы құрылымын модуляциялау арқылы алынады.
The tensor algebra of a Lie algebra has a Poisson algebra structure. A very explicit construction of this is given in the article on universal enveloping algebras. The construction proceeds by first building the tensor algebra of the underlying vector space of the Lie algebra. The tensor algebra is simply the disjoint union (direct sum ⊕) of all tensor products of this vector space. One can then show that the Lie bracket can be consistently lifted to the entire tensor algebra: it obeys both the product rule, and the Jacobi identity of the Poisson bracket, and thus is the Poisson bracket, when lifted. The pair of products {,} and ⊗ then form a Poisson algebra. Observe that ⊗ is neither commutative nor is it anti commutative: it is merely associative. Thus, one has the general statement that the tensor algebra of any Lie algebra is a Poisson algebra. The universal enveloping algebra is obtained by modding out the Poisson algebra structure.
Ассоциативтік алгебралар
Егер A ассоциативтік алгебра болса, онда [x,y] = xy-yx коммутаторын енгізу оны Пуассон алгебрасына (және, демек, Лай алгебрасына) айналдырады. Нәтижедегі AL алдыңғы бөлімде сипатталған тензорлық алгебра құрылысымен шатастырылмауы керек. Егер қалауынша, сол құрылысты да қолдануға болады, бірақ ол басқа Пуассон алгебрасын береді, ол әлдеқайда ірі болады.
If A is an associative algebra, then imposing the commutator [x,y]=xy−yx turns it into a Poisson algebra (and thus, also a Lie algebra) AL. Note that the resulting AL should not be confused with the tensor algebra construction described in the previous section. If one wished, one could also apply that construction as well, but that would give a different Poisson algebra, one that would be much larger.
Түйін операторы алгебрасы
Бағаналық оператор алгебрасы (V, Y, ω, 1) үшін, V/C2(V) кеңістігі {a, b} = a₀b және a ⋅ b = a⁻¹b ретімен Пуассон алгебрасы болып табылады. Белгілі бір бағаналық оператор алгебралары үшін, бұл Пуассон алгебралары шекті өлшемді.
For a vertex operator algebra (V,Y, ω, 1), the space V/C2(V) is a Poisson algebra with {a, b} = a0b and a ⋅ b = a−1b. For certain vertex operator algebras, these Poisson algebras are finite dimensional.