Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, алгебра Пуассона — это ассоциативная алгебра, снабжённая скобкой Ли, которая также удовлетворяет тождеству Лейбница; то есть, скобка является также производной. Алгебры Пуассона возникают естественным образом в гамильтоновой механике и играют центральную роль в изучении квантовых групп. Многообразия, наделённые структурой алгебры Пуассона, называются многообразиями Пуассона, среди которых симплектические многообразия и группы Пуассона — Ли являются частным случаем. Алгебра названа в честь Симеона Дениса Пуассона.
In mathematics, a Poisson algebra is an associative algebra together with a Lie bracket that also satisfies Leibniz's law; that is, the bracket is also a derivation. Poisson algebras appear naturally in Hamiltonian mechanics, and are also central in the study of quantum groups. Manifolds with a Poisson algebra structure are known as Poisson manifolds, of which the symplectic manifolds and the Poisson–Lie groups are a special case. The algebra is named in honour of Siméon Denis Poisson.
Примеры
Алгебры Пуассона возникают в различных областях.
Poisson algebras occur in various settings.
Симплектические коллекторы
Пространство гладких вещественнозначных функций на симплектическом многообразии образует алгебру Пуассона. На симплектическом многообразии каждая вещественнозначная функция H на многообразии индуцирует векторное поле XH, гамильтоново векторное поле. Тогда, для любых двух гладких функций F и G на симплектическом многообразии, скобка Пуассона может быть определена как:
The space of real valued smooth functions over a symplectic manifold forms a Poisson algebra. On a symplectic manifold, every real valued function H on the manifold induces a vector field XH, the Hamiltonian vector field. Then, given any two smooth functions F and G over the symplectic manifold, the Poisson bracket may be defined as:
Это определение согласуется отчасти благодаря тому, что скобка Пуассона действует как производная. Эквивалентно, скобку {,} можно определить как
This definition is consistent in part because the Poisson bracket acts as a derivation. Equivalently, one may define the bracket {,} as
где [,] – производная Ли. Когда симплектическое многообразие является R2n с обычной симплектической структурой, скобка Пуассона принимает хорошо известную форму
where [,] is the Lie derivative. When the symplectic manifold is R2n with the standard symplectic structure, then the Poisson bracket takes on the well known form
Аналогичные соображения применимы к многообразиям Пуассона, которые обобщают симплектические многообразия, допуская, чтобы симплектический бивектор имел недостаточный ранг.
Similar considerations apply for Poisson manifolds, which generalize symplectic manifolds by allowing the symplectic bivector to be rank deficient.
Алгебры лжи
Тензорная алгебра алгебры Ли имеет структуру алгебры Пуассона. Очень явное построение этого дано в статье об универсальных обволакивающих алгебрах. Построение начинается с создания тензорной алгебры базового векторного пространства алгебры Ли. Тензорная алгебра – это просто непересекающееся объединение (прямая сумма ⊕) всех тензорных произведений этого векторного пространства. Затем можно показать, что скобка Ли может быть согласованно продолжена на всю тензорную алгебру: она удовлетворяет как правилу произведения, так и тождеству Якоби скобки Пуассона, и таким образом является скобкой Пуассона при продолжении. Пара произведений {,} и ⊗ тогда образует алгебру Пуассона. Следует отметить, что ⊗ не является ни коммутативным, ни антикоммутативным: она лишь ассоциативна. Таким образом, можно сделать общее утверждение, что тензорная алгебра любой алгебры Ли является алгеброй Пуассона. Универсальная обволакивающая алгебра получается путем наложения отношения эквивалентности на структуру алгебры Пуассона.
The tensor algebra of a Lie algebra has a Poisson algebra structure. A very explicit construction of this is given in the article on universal enveloping algebras. The construction proceeds by first building the tensor algebra of the underlying vector space of the Lie algebra. The tensor algebra is simply the disjoint union (direct sum ⊕) of all tensor products of this vector space. One can then show that the Lie bracket can be consistently lifted to the entire tensor algebra: it obeys both the product rule, and the Jacobi identity of the Poisson bracket, and thus is the Poisson bracket, when lifted. The pair of products {,} and ⊗ then form a Poisson algebra. Observe that ⊗ is neither commutative nor is it anti commutative: it is merely associative. Thus, one has the general statement that the tensor algebra of any Lie algebra is a Poisson algebra. The universal enveloping algebra is obtained by modding out the Poisson algebra structure.
Ассоциативные алгебры
Если A — ассоциативная алгебра, то определение коммутатора [x, y] = xy − yx превращает её в алгебру Пуассона (и, следовательно, также в алгебру Ли) AL. Важно отметить, что полученную AL не следует путать с построением тензорной алгебры, описанным в предыдущем разделе. При желании можно было бы применить и это построение, но в результате получилась бы другая, значительно большая алгебра Пуассона.
If A is an associative algebra, then imposing the commutator [x,y]=xy−yx turns it into a Poisson algebra (and thus, also a Lie algebra) AL. Note that the resulting AL should not be confused with the tensor algebra construction described in the previous section. If one wished, one could also apply that construction as well, but that would give a different Poisson algebra, one that would be much larger.
Алгебры вертикальных операторов
Для верхушечной операторной алгебры (V, Y, ω, 1) пространство V/C₂(V) является алгеброй Пуассона с {a, b} = a₀b и a ⋅ b = a⁻¹b. Для определенных верхушечных операторных алгебр эти алгебры Пуассона конечномерны.
For a vertex operator algebra (V,Y, ω, 1), the space V/C2(V) is a Poisson algebra with {a, b} = a0b and a ⋅ b = a−1b. For certain vertex operator algebras, these Poisson algebras are finite dimensional.