Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Негізгі бундельдерге кохомология кластарын қатыстыру
Association of cohomology classes to principal bundles
Математикада, сипаттама класы – X кеңістігінің әрбір негізгі бунделіне X кеңістігінің кохомология класын қатыстырудың тәсілі. Кохомология класы бундельдің қаншалықты "қиылысқандығын" және оның қималарының болуын өлшейді. Сипаттама кластары – жергілікті көбейту құрылымының жаһандық көбейту құрылымынан ауытқуын өлшейтін жаһандық инварианттар. Олар алгебралық топология, дифференциалдық геометрия және алгебралық геометриядағы біріктіретін геометриялық ұғымдардың бірі. Сипаттама класының ұғымы 1935 жылы Эдуард Стифель мен Хасслер Уитнидің көпқырлылықтардағы векторлық өрістер туралы еңбектерінде пайда болды.
In mathematics, a characteristic class is a way of associating to each principal bundle of X a cohomology class of X. The cohomology class measures the extent to which the bundle is "twisted" and whether it possesses sections. Characteristic classes are global invariants that measure the deviation of a local product structure from a global product structure. They are one of the unifying geometric concepts in algebraic topology, differential geometry, and algebraic geometry. The notion of characteristic class arose in 1935 in the work of Eduard Stiefel and Hassler Whitney about vector fields on manifolds.
Анықтама
G – топологиялық топ болсын, ал топологиялық кеңістік үшін , оның үстіндегі негізгі G топтарының изоморфизм сыныптары жиыны деп жазайық. Бұл Top (топологиялық кеңістіктер мен үздіксіз функциялар санаты) – дан Set (жинақтар мен функциялар санаты) – ға ковариантты функтор, картаны кері тартылу операциясына жіберу. Негізгі G топтарының сипаттамалық класы c – бұл кохомология функторынан табиғи түрлендіру, сонымен қатар жинақтарға функтор ретінде қарастырылады. Басқаша айтқанда, сипаттамалық класс әрбір негізгі G топтарына H*(X) элементіндегі c(P) элементін сәйкестендіреді, егер f: Y → X үздіксіз карта болса, онда c(f*P) = f*c(P) теңдігі орындалады. Сол жақта Y-ға кері тартылған P класы, ал оң жақта кохомологиядағы индукцияланған карта астында P класының бейнесі.
Let G be a topological group, and for a topological space , write for the set of isomorphism classes of principal G bundles over This is a contravariant functor from Top (the category of topological spaces and continuous functions) to Set (the category of sets and functions), sending a map to the pullback operation
A characteristic class c of principal G bundles is then a natural transformation from to a cohomology functor , regarded also as a functor to Set. In other words, a characteristic class associates to each principal G bundle in an element c(P) in H*(X) such that, if f : Y → X is a continuous map, then c(f*P) = f*c(P). On the left is the class of the pullback of P to Y; on the right is the image of the class of P under the induced map in cohomology.
Мотивация
Характерлік кластар – кохомология теориясының құбылыстары, олар контравариантты конструкциялар болып табылады. Қима – кеңістіктегі функция сияқты, ал қиманың болуынан туындайтын қайшылықты жою үшін осы айырмашылық қажет. Шындығында, гомология және гомотопия теорияларынан кейін кохомология теориясы дамыды, олар кеңістікке бейнелеуге негізделген ковариантты теориялар. 1930 жылдардағы сипаттамалық кластар теориясы (обструкция теориясының бір бөлігі ретінде) гомологияға «қос» теорияны іздеудің маңызды себебі болды. Иілу инварианттарына қатысты сипаттамалық кластық тәсіл – теория құрудың, жалпы Гаусс-Бонне теоремасын дәлелдеудің ерекше себебі болды. 1950 жылдары теория ұйымдастырылған негізде (анықтамалар гомотопия теориясына дейін тоғытылғанда) сол кездегі ең маңызды сипаттамалық кластар (Стифель-Уитни класы, Черн класы және Понтрягин кластары) классикалық сызықтық топтар мен олардың максималды тор құрылымының көрінісі екені анық болды. Черн класының өзі де жаңа емес еді, ол Грассманндықтардағы Шуберт есебінде және алгебралық геометрияның итальян мектебінің жұмыстарында көрініс тапқан. Екінші жағынан, векторлық бундель болғанда кластардың отбасыларын жасайтын құрылым пайда болды. Одан кейін негізгі механизм мынадай болып көрінді: Х кеңістігі векторлық бундельді тасымалдаса, ол гомотопиялық категорияда тиісті сызықтық топ G үшін Х-тен классификациялық кеңістік BG-ге бейнелеуді білдіреді. Гомотопиялық теория үшін тиісті ақпаратты G-нің ортогональды және унитарлық топтары сияқты ықшам кіші топтар жеткізеді. Кохомология бір рет және барлық жағдайларда есептелгеннен кейін, кохомологияның контраварианттық қасиеті бундель үшін сипаттамалық кластардың бірдей өлшемдерде анықталатынын білдірді. Мысалы, Черн класы – әрбір жұп өлшемде жіктелінген компоненттері бар бір класс. Бұл әлі де классикалық түсіндірме, бірақ берілген геометриялық теорияда қосымша құрылымды ескеру пайдалы. 1955 жылдан бастап K-теориясы мен кобордизм теориясының пайда болуымен кохомология «ерекше» болды, осы жағдайда сипаттамалық кластардың қандай екенін көрсету үшін барлық жерде H әрпін ауыстыру жеткілікті болды. Кейін хомотопиялық теорияда көпқырлылардың жапырақтары үшін сипаттамалық кластар табылды; олар (өзгертілген мағынада, кейбір рұқсат етілген сингулярлықтары бар) хомотопиялық теорияда классификациялық кеңістік теориясына ие. Математика мен физиканың жақындасуынан кейін Симон Дональдсон мен Дитер Коцчик инстантон теориясында жаңа сипаттамалық кластар тапты. Черннің жұмысы мен көзқарасы да маңызды болып шықты: қараңыз, Черн-Симонс теориясы.
Characteristic classes are phenomena of cohomology theory in an essential way — they are contravariant constructions, in the way that a section is a kind of function on a space, and to lead to a contradiction from the existence of a section we do need that variance. In fact cohomology theory grew up after homology and homotopy theory, which are both covariant theories based on mapping into a space; and characteristic class theory in its infancy in the 1930s (as part of obstruction theory) was one major reason why a 'dual' theory to homology was sought. The characteristic class approach to curvature invariants was a particular reason to make a theory, to prove a general Gauss–Bonnet theorem. When the theory was put on an organised basis around 1950 (with the definitions reduced to homotopy theory) it became clear that the most fundamental characteristic classes known at that time (the Stiefel–Whitney class, the Chern class, and the Pontryagin classes) were reflections of the classical linear groups and their maximal torus structure. What is more, the Chern class itself was not so new, having been reflected in the Schubert calculus on Grassmannians, and the work of the Italian school of algebraic geometry. On the other hand there was now a framework which produced families of classes, whenever there was a vector bundle involved. The prime mechanism then appeared to be this: Given a space X carrying a vector bundle, that implied in the homotopy category a mapping from X to a classifying space BG, for the relevant linear group G. For the homotopy theory the relevant information is carried by compact subgroups such as the orthogonal groups and unitary groups of G. Once the cohomology was calculated, once and for all, the contravariance property of cohomology meant that characteristic classes for the bundle would be defined in in the same dimensions. For example the Chern class is really one class with graded components in each even dimension. This is still the classic explanation, though in a given geometric theory it is profitable to take extra structure into account. When cohomology became 'extraordinary' with the arrival of K theory and cobordism theory from 1955 onwards, it was really only necessary to change the letter H everywhere to say what the characteristic classes were. Characteristic classes were later found for foliations of manifolds; they have (in a modified sense, for foliations with some allowed singularities) a classifying space theory in homotopy theory. In later work after the rapprochement of mathematics and physics, new characteristic classes were found by Simon Donaldson and Dieter Kotschick in the instanton theory. The work and point of view of Chern have also proved important: see Chern–Simons theory.
Тұрақтылық
Тұрақты гомотопия теориясының тілінде Черн класы, Стифел-Уитни класы және Понтриагин класы тұрақты, ал Эйлер класы тұрақсыз. Нақты айтқанда, тұрақты сынып – тривиалды бундель қосылғанда өзгермейтін сынып. Көбірек абстрактілі тұрғыдан алғанда, бұл жіктеу кеңістігіндегі кохомология класы жіктеу кеңістігіндегі кохомология класынан кері тартылады дегенді білдіреді (бұл және ұқсас жағдайларда кіріктіруге сәйкес келеді). Балама ретінде, барлық шекті сипаттамалық кластар тұрақты кластан кері тартылады.
In the language of stable homotopy theory, the Chern class, Stiefel–Whitney class, and Pontryagin class are stable, while the Euler class is unstable. Concretely, a stable class is one that does not change when one adds a trivial bundle: More abstractly, it means that the cohomology class in the classifying space for pulls back from the cohomology class in under the inclusion (which corresponds to the inclusion and similar). Equivalently, all finite characteristic classes pull back from a stable class in
This is not the case for the Euler class, as detailed there, not least because the Euler class of a k dimensional bundle lives in (hence pulls back from , so it can't pull back from a class in , as the dimensions differ.
Бұл Эйлер класы үшін осылай емес, себебі ол туралы толығырақ мәліметтер бар, соның ішінде Эйлер класы k өлшемді бундельде орналасқандықтан (демек, ол кері тартылады, сондықтан ол өлшемдері ерекшеленетін кластан кері тартыла алмайды).
In the language of stable homotopy theory, the Chern class, Stiefel–Whitney class, and Pontryagin class are stable, while the Euler class is unstable. Concretely, a stable class is one that does not change when one adds a trivial bundle: More abstractly, it means that the cohomology class in the classifying space for pulls back from the cohomology class in under the inclusion (which corresponds to the inclusion and similar). Equivalently, all finite characteristic classes pull back from a stable class in
This is not the case for the Euler class, as detailed there, not least because the Euler class of a k dimensional bundle lives in (hence pulls back from , so it can't pull back from a class in , as the dimensions differ.