Характеристические классы главных расслоений и когомологии

Введение

Ассоциация классов когомологий с главными расслоениями

В математике характерный класс — это способ сопоставления каждому главному расслоению над пространством X класса когомологий этого пространства. Класс когомологий измеряет степень "скрученности" расслоения и наличие у него сечений. Характерные классы — это глобальные инварианты, которые измеряют отклонение локальной структуры произведения от глобальной структуры произведения. Они являются одним из объединяющих геометрических понятий в алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии. Понятие характерного класса возникло в 1935 году в работах Эдуарда Стифеля и Хасслера Уитни о векторных полях на многообразиях.

Определение

Пусть G — топологическая группа, а для топологического пространства X обозначим через B(X) множество классов изоморфизма главных G-расслоений над X. Это контравариантный функтор из Top (категории топологических пространств и непрерывных отображений) в Set (категорию множеств и функций), сопоставляющий отображение f : Y → X операции обратного образа (pullback). Характерный класс c главных G-расслоений тогда является естественным преобразованием из B в кохомологический функтор H*, рассматриваемый также как функтор в Set. Иными словами, характерный класс сопоставляет каждому главному G-расслоению P в B(X) элемент c(P) в H*(X) таким образом, что если f : Y → X — непрерывное отображение, то c(f*P) = f*c(P). Слева — класс обратного образа расслоения P над Y; справа — образ класса P под индуцированным отображением в когомологиях.

Мотивация

Характерные классы являются явлениями теории когомологий в существенном смысле — это контравариантные конструкции, в том смысле, что сечение — это своего рода функция на пространстве, и для получения противоречия из существования сечения необходимо учитывать эту вариативность. Фактически, теория когомологий возникла после гомологии и теории гомотопий, которые являются ковариантными теориями, основанными на отображениях в пространство; и теория характеристических классов в ее зачаточном состоянии в 1930-х годах (в рамках теории препятствий) была одной из основных причин поиска «двойственной» теории к гомологии. Характерно-классовый подход к инвариантам кривизны был особой причиной для создания теории и доказательства общей теоремы Гаусса — Бонне. Когда теория была систематизирована около 1950 года (с определениями, сведенными к теории гомотопии), стало ясно, что наиболее фундаментальные известные в то время характерные классы (класс Стифеля — Уитни, класс Черна и классы Понтрягина) являются отражением классических линейных групп и структуры их максимального тора. Более того, сам класс Черна не был совершенно новым, поскольку он уже встречался в расчетах Шуберта на грассманианах и в работах итальянской школы алгебраической геометрии. С другой стороны, появилась структура, которая порождала семейства классов всякий раз, когда был задействован векторный расслоение. Основной механизм тогда выглядел следующим образом: пространство X, несущее векторное расслоение, подразумевает в гомотопической категории отображение из X в классифицирующее пространство BG для соответствующей линейной группы G. Для теории гомотопий соответствующую информацию несут компактные подгруппы, такие как ортогональные и унитарные группы G. Как только когомологии были вычислены раз и навсегда, свойство контравариантности когомологий означало, что характерные классы для расслоения будут определены в одних и тех же размерностях. Например, класс Черна — это фактически один класс с градуированными компонентами в каждой четной размерности. Это по-прежнему классическое объяснение, хотя в конкретной геометрической теории полезно учитывать дополнительную структуру. Когда когомологии стали «необычными» с появлением K-теории и теории кобордизмов с 1955 года, для определения характерных классов достаточно было заменить букву H повсюду. Позднее характерные классы были найдены для фолиаций многообразий; они имеют (в модифицированном смысле, для фолиаций с некоторыми допустимыми сингулярностями) теорию классифицирующего пространства в теории гомотопий. В более поздних работах, после сближения математики и физики, Саймон Дональдсон и Дитер Коцчик обнаружили новые характерные классы в теории инстантонов. Важными также оказались работы и точка зрения Черна: см. теорию Черна — Саймонса.

Characteristic classes are phenomena of cohomology theory in an essential way — they are contravariant constructions, in the way that a section is a kind of function on a space, and to lead to a contradiction from the existence of a section we do need that variance. In fact cohomology theory grew up after homology and homotopy theory, which are both covariant theories based on mapping into a space; and characteristic class theory in its infancy in the 1930s (as part of obstruction theory) was one major reason why a 'dual' theory to homology was sought. The characteristic class approach to curvature invariants was a particular reason to make a theory, to prove a general Gauss–Bonnet theorem. When the theory was put on an organised basis around 1950 (with the definitions reduced to homotopy theory) it became clear that the most fundamental characteristic classes known at that time (the Stiefel–Whitney class, the Chern class, and the Pontryagin classes) were reflections of the classical linear groups and their maximal torus structure. What is more, the Chern class itself was not so new, having been reflected in the Schubert calculus on Grassmannians, and the work of the Italian school of algebraic geometry. On the other hand there was now a framework which produced families of classes, whenever there was a vector bundle involved. The prime mechanism then appeared to be this: Given a space X carrying a vector bundle, that implied in the homotopy category a mapping from X to a classifying space BG, for the relevant linear group G. For the homotopy theory the relevant information is carried by compact subgroups such as the orthogonal groups and unitary groups of G. Once the cohomology was calculated, once and for all, the contravariance property of cohomology meant that characteristic classes for the bundle would be defined in in the same dimensions. For example the Chern class is really one class with graded components in each even dimension. This is still the classic explanation, though in a given geometric theory it is profitable to take extra structure into account. When cohomology became 'extraordinary' with the arrival of K theory and cobordism theory from 1955 onwards, it was really only necessary to change the letter H everywhere to say what the characteristic classes were. Characteristic classes were later found for foliations of manifolds; they have (in a modified sense, for foliations with some allowed singularities) a classifying space theory in homotopy theory. In later work after the rapprochement of mathematics and physics, new characteristic classes were found by Simon Donaldson and Dieter Kotschick in the instanton theory. The work and point of view of Chern have also proved important: see Chern–Simons theory.

Стабильность

На языке стабильной теории гомотопии, класс Черна, класс Стифеля — Уитни и класс Понтрягина являются стабильными, а класс Эйлера — нестабильным. Конкретно, стабильный класс — это класс, который не изменяется при добавлении тривиального расслоения. Более абстрактно, это означает, что кохомологический класс в классифицирующем пространстве оттягивается с кохомологического класса в под включением (что соответствует включению и аналогичным образом). Это не относится к классу Эйлера, как подробно описано там, в частности, потому что класс Эйлера k-мерного расслоения лежит в (следовательно, оттягивается с , поэтому он не может оттягиваться с класса в , поскольку размерности различаются.