Кіріспе
Топология математикалық саласында талшықты шоғырдың қимасы (немесе көлденең қимасы) проекция функциясының үздіксіз оң керісі болып табылады. Басқаша айтқанда, егер негізгі кеңістікте талшықты шоғыр болса, :
онда осы талшықты шоғырдың қимасы – үздіксіз бейнелеу,
мұндай, барлық үшін . Кима – граф болудің абстрактілі сипаттамасы. Функцияның графигін функцияның Декарт көбейтіндісіндегі мәндерін қабылдайтын функция ретінде қарастыруға болады, яғни және :
for all
A section is an abstract characterization of what it means to be a graph. The graph of a function can be identified with a function taking its values in the Cartesian product , of and :
болсын, онда график – бұл кез келген функция, ол үшін . Талшықты шоғырлардың тілі осы қима ұғымын Декарт көбейтіндісі болмаған жағдайда да жалпылауға мүмкіндік береді. Егер талшықты шоғыр болса, онда қима – әр талшықтағы нүктенің таңдалуы. Шарт тек қиманың бір нүктеде орналасуын білдіреді (суретке қараңыз). Мысалы, егер векторлық шоғыр болса, онда қима – әр нүктеде орналасқан векторлық кеңістіктің элементі. Атап айтқанда, тегіс көпқырлылықтағы векторлық өріс – оның әр нүктесіндегі жанама вектордың таңдалуы, яғни жанама шоғырдың қимасы. Сондай-ақ, тегіс көпқырлылықтағы 1-түрленім – котангенттік шоғырдың қимасы. Кималар, әсіресе негізгі және векторлық шоғырлар, дифференциалдық геометрияда өте маңызды құралдар болып табылады. Бұл жағдайда негізгі кеңістік – тегіс көпқырлылық, ал – негізгі кеңістік үстіндегі тегіс талшықты шоғыр деп есептеледі (яғни – тегіс көпқырлылық және – тегіс бейнелеу). Бұл жағдайда ашық жиын үстіндегі қималардың тегіс кеңістігін қарастырамыз, оны деп белгілейміз. Геометриялық талдауда аралық тұрақтылығы бар қималар кеңістігін қарастыру да пайдалы (мысалы, Hölder шарттарының немесе Соболев кеңістіктерінің мағынасындағы тұрақтылығы бар қималар).
The language of fibre bundles allows this notion of a section to be generalized to the case when is not necessarily a Cartesian product. If is a fibre bundle, then a section is a choice of point in each of the fibres. The condition simply means that the section at a point must lie over (See image.) For example, when is a vector bundle a section of is an element of the vector space lying over each point In particular, a vector field on a smooth manifold is a choice of tangent vector at each point of : this is a section of the tangent bundle of Likewise, a 1 form on is a section of the cotangent bundle. Sections, particularly of principal bundles and vector bundles, are also very important tools in differential geometry. In this setting, the base space is a smooth manifold , and is assumed to be a smooth fiber bundle over (i. e., is a smooth manifold and is a smooth map). In this case, one considers the space of smooth sections of over an open set , denoted It is also useful in geometric analysis to consider spaces of sections with intermediate regularity (e. g., sections, or sections with regularity in the sense of Hölder conditions or Sobolev spaces).
Жергілікті және жаһандық бөлімдер
Талшықтық түйіршіктерде мұндай жаһандық қималар әдетте болмайды (мысалы, Мёбиус түйіршігін алып, нөлдік қиманы алып тастау арқылы алынған талшықтармен түйіршік қарастырылса), сондықтан қималарды тек жергілікті түрде анықтау да пайдалы. Талшықтық түйіршіктің жергілікті қимасы – бұл ашық жиынындағы үстінен анықталған үздіріссіз бейнелеу, мұнда - жинағындағы кез келген нүкте. Егер - жергілікті тривиализация болса, онда - гомеоморфизм болатын (мұнда талшық), онда жергілікті қималар әрқашан үстінде - жинағынан жинағынағы үздіріссіз бейнелеулермен бір-бірге сәйкес келеді. (Жергілікті) қималар үстінде қималар шоғыры деп аталатын шоғыр құрайды. Талшықтық түйіршіктің үстіндегі үздіріссіз қималар кеңістігі кейде деп белгіленеді, ал қималардың жаһандық кеңістігі көбінесе немесе деп белгіленеді.
The space of continuous sections of a fiber bundle over is sometimes denoted , while the space of global sections of is often denoted or .
Бүкіләлемдік бөлімдерге кеңейту
Бөлімдер гомотопия теориясы мен алгебралық топологияда зерттеледі, мұндағы басты мақсат – жаһандық бөлімдердің болуын немесе болмауын анықтау. Тосқауыл жаһандық бөлімнің болуын жоққа шығарады, себебі кеңістік тым "қисық" келген. Нақтырақ айтқанда, тосқауылдар кеңістіктің "қисықтығына" байланысты жергілікті бөлімді жаһандық бөлімге кеңейту мүмкіндігіне кедергі келтіреді. Тосқауылдар нақты сипаттамалық сыныптармен, яғни кохомологиялық сыныптармен белгіленеді. Мысалы, негізгі шоғыр тек тривиальді болса ғана жаһандық бөлімі болады. Ал векторлық шоғыр әрқашан жаһандық қимаға ие, атап айтқанда нөлдік қимаға. Дегенмен, ол ешқайда жоғалып кетпейтін қимаға тек Эйлер класы нөл болған жағдайда ғана ие болады.
Жалпылау
Жергілікті қималарды кеңейтуге кедергілерді келесідей жалпылауға болады: топологиялық кеңістік алып, объектілері ашық жиынтықтар болатын категория құрыңыз, ал морфизмдер кіріктірулер болып табылады. Осылайша, біз топологиялық кеңістікті жалпылау үшін категорияны қолданамыз. Біз "жергілікті қима" ұғымын абельдік топтардың шоғырларын пайдаланып жалпылаймыз, ол әрбір объектіге абельдік топты (жергілікті қималарға ұқсас) бейнелейді. Мұнда маңызды айырмашылық бар: түсінік бойынша, жергілікті қималар топологиялық кеңістіктің ашық жиынтығындағы "векторлық өрістерге" ұқсас. Осылайша, әрбір нүктеде белгілі бір векторлық кеңістіктің елемі тағайындалады. Дегенмен, шоғырлар векторлық кеңістікті (немесе жалпы алғанда, абельдік топты) "үнемі өзгерте" алады. Бұл процестің өзі – әрбір шоғырға оның жаһандық қимасын бейнелейтін жаһандық қима функоры. Содан кейін шоғырлық когомология, абельдік топты "үнемі өзгертіп" отырып, ұқсас кеңейту мәселесін қарастыруға мүмкіндік береді. Карактеристикалық кластар теориясы кеңейтулерге кедергілер идеясын жалпылайды.