Введение
В математической области топологии, сечение (или поперечное сечение) волокнистого расслоения является непрерывной правой инверсией функции проекции. Другими словами, если – волокнистое расслоение над базовым пространством , то сечение этого волокнистого расслоения – это непрерывное отображение , такое что для всех . Сечение является абстрактной характеристикой того, что значит быть графом. Граф функции можно отождествить с функцией, принимающей свои значения в декартовом произведении и :
then a section of that fiber bundle is a continuous map,
such that
for all
A section is an abstract characterization of what it means to be a graph. The graph of a function can be identified with a function taking its values in the Cartesian product , of and :
Let be the projection onto the first factor: Then a graph is any function for which
The language of fibre bundles allows this notion of a section to be generalized to the case when is not necessarily a Cartesian product. If is a fibre bundle, then a section is a choice of point in each of the fibres. The condition simply means that the section at a point must lie over (See image.) For example, when is a vector bundle a section of is an element of the vector space lying over each point In particular, a vector field on a smooth manifold is a choice of tangent vector at each point of : this is a section of the tangent bundle of Likewise, a 1 form on is a section of the cotangent bundle. Sections, particularly of principal bundles and vector bundles, are also very important tools in differential geometry. In this setting, the base space is a smooth manifold , and is assumed to be a smooth fiber bundle over (i. e., is a smooth manifold and is a smooth map). In this case, one considers the space of smooth sections of over an open set , denoted It is also useful in geometric analysis to consider spaces of sections with intermediate regularity (e. g., sections, or sections with regularity in the sense of Hölder conditions or Sobolev spaces).
Пусть – проекция на первый фактор: . Тогда граф – это любая функция , для которой . Язык волокнистых расслоений позволяет обобщить это понятие сечения на случай, когда не обязательно является декартовым произведением. Если – волокнистое расслоение, то сечение – это выбор точки в каждом из волокон. Условие просто означает, что сечение в точке должно лежать над (см. рисунок). Например, когда – векторное расслоение, сечение – это элемент векторного пространства, лежащий над каждой точкой. В частности, векторное поле на гладком многообразии – это выбор тангентного вектора в каждой точке : это сечение тангентного расслоения. Аналогично, 1-форма на – это сечение котангентного расслоения. Сечения, особенно главных расслоений и векторных расслоений, также являются очень важными инструментами в дифференциальной геометрии. В этом контексте базовое пространство – это гладкое многообразие, и предполагается, что – гладкое волокнистое расслоение над (т.е. – гладкое многообразие, а – гладкое отображение). В этом случае рассматривается пространство гладких сечений над открытым множеством , обозначаемое . Также полезно в геометрическом анализе рассматривать пространства сечений с промежуточной регулярностью (например, -сечения или сечения с регулярностью в смысле условий Гёльдера или пространств Соболева).
then a section of that fiber bundle is a continuous map,
such that
for all
A section is an abstract characterization of what it means to be a graph. The graph of a function can be identified with a function taking its values in the Cartesian product , of and :
Let be the projection onto the first factor: Then a graph is any function for which
The language of fibre bundles allows this notion of a section to be generalized to the case when is not necessarily a Cartesian product. If is a fibre bundle, then a section is a choice of point in each of the fibres. The condition simply means that the section at a point must lie over (See image.) For example, when is a vector bundle a section of is an element of the vector space lying over each point In particular, a vector field on a smooth manifold is a choice of tangent vector at each point of : this is a section of the tangent bundle of Likewise, a 1 form on is a section of the cotangent bundle. Sections, particularly of principal bundles and vector bundles, are also very important tools in differential geometry. In this setting, the base space is a smooth manifold , and is assumed to be a smooth fiber bundle over (i. e., is a smooth manifold and is a smooth map). In this case, one considers the space of smooth sections of over an open set , denoted It is also useful in geometric analysis to consider spaces of sections with intermediate regularity (e. g., sections, or sections with regularity in the sense of Hölder conditions or Sobolev spaces).
Местные и глобальные секции
Волокнистые расслоения обычно не имеют таких глобальных сечений (рассмотрите, например, расслоение над с волокном , полученное из пучка Мёбиуса путём удаления нулевого сечения), поэтому также полезно определять сечения только локально. Локальное сечение волокнистого расслоения — это непрерывное отображение , где — открытое множество в и для всех из Если — локальная тривиализация , где — гомеоморфизм из в (где — волокно), то локальные сечения всегда существуют над в биективном соответствии с непрерывными отображениями из в . (Локальные) сечения образуют пучок над , называемый пучком сечений . Пространство непрерывных сечений волокнистого расслоения над иногда обозначается , а пространство глобальных сечений — часто обозначается или .
The space of continuous sections of a fiber bundle over is sometimes denoted , while the space of global sections of is often denoted or .
Расширение до глобальных разделов
Разделы изучаются в гомотопической и алгебраической топологии, где одной из главных целей является установление условий существования или несуществования глобальных сечений. Обструкция указывает на невозможность существования глобальных сечений, поскольку пространство слишком "скручено". Более точно, обструкции "препятствуют" возможности продолжения локального сечения до глобального из-за "скрученности" пространства. Обструкции выражаются определенными характеристическими классами, являющимися кохомологическими классами. Например, главное расслоение имеет глобальное сечение тогда и только тогда, когда оно тривиально. С другой стороны, векторное расслоение всегда имеет глобальное сечение, а именно нулевое сечение. Однако оно допускает сечение, не обращающееся в нуль ни в одной точке, только если его класс Эйлера равен нулю.
Обобщения
Препятствия для расширения локальных сечений могут быть обобщены следующим образом: возьмите топологическое пространство и сформируйте категорию, объекты которой — открытые подмножества, а морфизмы — включения. Таким образом, мы используем категорию для обобщения топологического пространства. Мы обобщаем понятие "локального сечения" с помощью пучков абелевых групп, которые присваивают каждому объекту абелеву группу (аналогично локальным сечениям). Здесь существует важное различие: интуитивно, локальные сечения похожи на "векторные поля" на открытом подмножестве топологического пространства. Таким образом, в каждой точке элементу фиксированного векторного пространства сопоставляется значение. Однако, пучки могут "непрерывно изменять" векторное пространство (или, в более общем случае, абелеву группу). Весь этот процесс фактически представляет собой глобальный секционный функтор, который присваивает каждому пучку его глобальное сечение. Затем когомологии пучков позволяют рассмотреть аналогичную задачу расширения, "непрерывно изменяя" абелеву группу. Теория характеристических классов обобщает идею препятствий для наших расширений.