Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық кеңістік
Mathematical space
Математикада Грасман кеңістігі (Герман Грасманның құрметіне аталған) – бұл өріс бойынша өлшемдік векторлық кеңістіктің барлық өлшемдік сызықтық кіші кеңістіктер жиынтығын параметрлейтін дифференциалданатын көптік. Мысалы, Грасман кеңістігі – бұл , нүктесі арқылы өтетін түзулер кеңістігі, сондықтан ол проективті кеңістікке бір өлшеммен төмен. Егер векторлық кеңістік нақты немесе кешенді болса, Грасман кеңістіктері ықшам тегіс көптіктер болып табылады, олардың өлшемі . Жалпы жағдайда олар ерекше проективті алгебралық сорт құрылымына ие. Тривиальді емес Грасман кеңістігі туралы ең алғашқы жұмысты Юлиус Плюккер жасаған, ол нақты проективті 3 кеңістікте проективті түзулер жиынтығын зерттеді, бұл кеңістікке тең, және оларды қазір Плюккер координаттары деп аталатын координаталармен параметрледі. (Төмендегі қараңыз.) Кейін Герман Грасман бұл ұғымды жалпы түрде енгізді. Грасман кеңістіктерін белгілеу авторлар арасында әр түрлі болады, және өлшемдік векторлық кеңістіктің өлшемдік кіші кеңістіктерінің Грасман кеңістігін белгілеу үшін , , , қолданылады.
In mathematics, the Grassmannian (named in honour of Hermann Grassmann) is a differentiable manifold that parameterizes the set of all dimensional linear subspaces of an dimensional vector space over a field For example, the Grassmannian is the space of lines through the origin in , so it is the same as the projective space of one dimension lower than When is a real or complex vector space, Grassmannians are compact smooth manifolds, of dimension In general they have the structure of a nonsingular projective algebraic variety. The earliest work on a non trivial Grassmannian is due to Julius Plücker, who studied the set of projective lines in real projective 3 space, which is equivalent to , parameterizing them by what are now called Plücker coordinates. (See below.) Hermann Grassmann later introduced the concept in general. Notations for Grassmannians vary between authors, and include , ,, to denote the Grassmannian of dimensional subspaces of an dimensional vector space .
Мотивация
Векторлық кеңістіктің субкеңістіктер жиынтығына топологиялық құрылым беру арқылы субкеңістіктердің үздіксіз таңдаулары туралы немесе субкеңістіктердің ашық және жабық жиындары туралы сөйлеуге болады. Оларға дифференциалдық көптік құрылымын қосу арқылы субкеңістіктің тегіс таңдаулары туралы айтуға болады. Табиғи мысал – Евклид кеңістігіне енгізілген тегіс көптіктердің тангенциалдық бундары. Егер бізде өлшемді көптік болса, онда әрбір нүктеде , -ның тангенциалдық кеңістігі -ның тангенциалдық кеңістігінің кіші кеңістігі ретінде қарастырылуы мүмкін, ол сонымен қатар тек -ның өзі болып табылады. -ке оның тангенциалдық кеңістігін сәйкестендіретін функция M-ден (осы функцияны анықтайды. Мұны істеу үшін, біз әрбір нүктедегі тангенциалдық кеңістікті бастапқы нүктеден өтетіндей етіп жылжытуымыз керек, емес, -ден, соның салдарынан өлшемді векторлық кіші кеңістік анықталады. Бұл идея 3 өлшемді кеңістіктегі беттерге арналған Гаусс картасына өте ұқсас.) Бұл белгілі бір күш-жігермен көптіктердегі барлық векторлық бундарына таратылуы мүмкін, сондықтан әрбір векторлық бундель сәйкесінше жалпыланған Грассманнанға дейінгі үздіксіз функцияны тудырады, бірақ мұны көрсету үшін әртүрлі енгізу теоремаларын дәлелдеу қажет. Содан кейін біз векторлық бундельдердің қасиеттері сәйкес функциялардың қасиеттерімен байланысты екенін көреміз. Атап айтқанда, Грассманға гомотоптық функцияларды индукциялайтын векторлық бундельдер изоморфты екенін анықтаймыз. Мұнда гомотопияның анықтамасы үздіксіздік түсінігіне және, демек, топологияға сүйенеді.
By giving a collection of subspaces of a vector space a topological structure, it is possible to talk about a continuous choice of subspaces or open and closed collections of subspaces. Giving them the further structure of a differential manifold, one can talk about smooth choices of subspace. A natural example comes from tangent bundles of smooth manifolds embedded in a Euclidean space. Suppose we have a manifold of dimension embedded in At each point , the tangent space to can be considered as a subspace of the tangent space of , which is also just The map assigning to its tangent space defines a map from M to (In order to do this, we have to translate the tangent space at each so that it passes through the origin rather than , and hence defines a dimensional vector subspace. This idea is very similar to the Gauss map for surfaces in a 3 dimensional space.) This can with some effort be extended to all vector bundles over a manifold , so that every vector bundle generates a continuous map from to a suitably generalised Grassmannian—although various embedding theorems must be proved to show this. We then find that the properties of our vector bundles are related to the properties of the corresponding maps. In particular we find that vector bundles inducing homotopic maps to the Grassmannian are isomorphic. Here the definition of homotopy relies on a notion of continuity, and hence a topology.
Кіші өлшемдері
1=k=1 үшін Грасманн кеңістігі 'Gr'(1, n) – n кеңістігіндегі бастап нүктесі арқылы өтетін түзулердің кеңістігі, сондықтан ол n-1 өлшемді проективтік кеңістікке тең. 1=k=2 үшін Грасманн кеңістігі – бастап нүктесін қамтитын барлық 2 өлшемді жазықтықтардың кеңістігі. Евклидтік 3 кеңістігінде бастап нүктесін қамтитын жазықтық сол жазықтыққа перпендикуляр болатын және бастап нүктесі арқылы өтетін бір ғана түзумен толық сипатталады (және керісінше); сондықтан 'Gr'(2, 3), 'Gr'(1, 3) және 'P'^(2) (проективтік жазықтық) кеңістіктерінің бәрі бір-бірімен беттестіріледі. Проективтік кеңістік емес ең қарапайым Грасманн кеңістігі – 'Gr'(2, 4).
For 1=k = 1, the Grassmannian 'Gr'(1, n) is the space of lines through the origin in n space, so it is the same as the projective space of n − 1 dimensions. For 1=k = 2, the Grassmannian is the space of all 2 dimensional planes containing the origin. In Euclidean 3 space, a plane containing the origin is completely characterized by the one and only line through the origin that is perpendicular to that plane (and vice versa); hence the spaces 'Gr'(2, 3), 'Gr'(1, 3), and 'P'^(2) (the projective plane) may all be identified with each other. The simplest Grassmannian that is not a projective space is 'Gr'(2, 4).
Грасмандық схема
Алгебралық геометрия саласында Грасманн схемасы оны бейнеленетін функтор ретінде көрсету арқылы құрастырылуы мүмкін.
In the realm of algebraic geometry, the Grassmannian can be constructed as a scheme by expressing it as a representable functor.
Плюкердің кіріктірілуі
Плюккер кіріктіруі – Грассманн кеңістігінің проективтендірілуге табиғи кіріктірілуі. Егер – өлшемді векторлық кеңістіктің өлшемді подкеңістігі болса, онда анықтау үшін, үшін бір негіз таңдап, осы негіз элементтерінің сыртқы көбейтіндісінің проективтендірілуін деп белгілейміз:
The Plücker embedding is a natural embedding of the Grassmannian into the projectivization of the th Exterior power of
Suppose that is a dimensional subspace of the dimensional vector space To define , choose a basis for , and let be the projectivization of the wedge product of these basis elements:
мұнда проективті теңдестік класын білдіреді. үшін басқа негіз таңдалса, онда басқа сыртқы көбейтінді пайда болады, бірақ екеуі де нөлдік емес скалярлық көбейтумен ғана ерекшеленеді (негізді өзгерту матрицасының анықтамасы). Оң жақ проективтендірілген кеңістікте мәндер қабылдағандықтан, жақсы анықталған. Бұл кіріктіру екенін көрсету үшін, -ны барлық векторлар жиынының кеңеюі ретінде қалпына келтіруге болатынын ескеру жеткілікті, мұнда .
where denotes the projective equivalence class. A different basis for will give a different wedge product, but the two will differ only by a non zero scalar multiple (the determinant of the change of basis matrix). Since the right hand side takes values in the projectivized space, is well defined. To see that it is an embedding, notice that it is possible to recover from as the span of the set of all vectors such that
.
Грасман кешенінің кохомологиялық сақинасы
Грасманның күрделі көптігіндегі әрбір нүкте кеңістіктегі жазықтықты анықтайды. Бұл жазықтықты Грасмандыққа жіктеу арқылы проективті кеңістіктің таутологиялық шоғырын жалпылайтын векторлық шоғырға жетеді. Сол сияқты, осы жазықтықтың өлшемдік ортогональды толықтырулары ортогональды векторлық бундельді құрайды. Грасмандықтардың интегралды кохомологиясы, сақина ретінде, Черн кластарымен туындайды. Атап айтқанда, барлық интегралды кохомология проективті кеңістіктегідей жұп дәрежеде болады. Бұл генераторлар сақинаны анықтайтын қатынастар жиынтығына бағынады. Анықтамалық қатынастарды генераторлардың кеңірек жиынтығы үшін жазу оңай, ол Черн кластарынан және содан кейін қатынастар бундельдердің тікелей қосындысы тривиалды екенін көрсетеді. Толық Черн кластарының функционалдығы бұл қатынасты былай жазуға мүмкіндік береді:
Every point in the complex Grassmann manifold defines a plane in space. Fibering these planes over the Grassmannian one arrives at the vector bundle which generalizes the tautological bundle of a projective space. Similarly the dimensional orthogonal complements of these planes yield an orthogonal vector bundle The integral cohomology of the Grassmannians is generated, as a ring, by the Chern classes of In particular, all of the integral cohomology is at even degree as in the case of a projective space. These generators are subject to a set of relations, which defines the ring. The defining relations are easy to express for a larger set of generators, which consists of the Chern classes of and Then the relations merely state that the direct sum of the bundles and is trivial. Functoriality of the total Chern classes allows one to write this relation as
Эдвард Виттен кванттық кохомология сақинасын есептеді. Генераторлар классикалық кохомология сақинасының генераторларымен сәйкес келеді, бірақ ең жоғары қатынас өзгертіледі,
The quantum cohomology ring was calculated by Edward Witten. The generators are identical to those of the classical cohomology ring, but the top relation is changed to
бұл сәйкес кванттық өріс теориясындағы фермиондық нөлдік режимдердегі инстантонның болуын көрсетеді, ол кохомология дәрежесін күйге сәйкес келетін бірліктерге бұзады.
reflecting the existence in the corresponding quantum field theory of an instanton with fermionic zero modes which violates the degree of the cohomology corresponding to a state by units.
Қолданбалар
Грасманндықтардың маңызды қолданысы – компактты көптеулердегі байланыстары бар бундельдер үшін "әмбебап" енгізу кеңістігі болып табылады. Тағы бір маңызды қолданба – Шуберт калькулы, ол проективтік кеңістікте берілген нүктелер, түзулер және т.б. жиынтығымен қиылысатын нүктелер, түзулер, жазықтықтар және т.б. санын есептеуге қатысты санау геометриясы. Шуберт түрлерінің қиылысу теориясын қолдана отырып. Шуберт ұяшықтарының субварианттары Бет ансац әдісін пайдалана отырып, Гаудин моделі сияқты кванттық интегралданатын спин жүйелерінде толық коммутацияланатын операторлар жиынтығының бір мезгілдегі өздік векторларын параметрлеу үшін де қолданылуы мүмкін. Тағы бір қолданба – Кадомцев-Петвиашвили теңдеуі және оған байланысты КП иерархиясы сияқты классикалық толық интегралданатын дербес дифференциалдық теңдеулер жүйелерінің иерархияларын шешу болып табылады. Бұларды шексіз өлшемді Грасман манифольді бойынша абелдік топ ағыны түрінде беруге болады. KP Тау функциясы тұрғысынан Хирота билинеарлық түрінде берілген KP теңдеулері Плюкер қатынастарымен эквивалентті. КП ағыны параметрлерінің нақты мәндері үшін сингуляр емес KP теңдеулерінің солитондық шешімдерін беру үшін шекті өлшемді оң Грасман манифольдін пайдалануға болады. Максималды суперсимметриялық супер Янг-Миллс теориясындағы субатомдық бөлшектердің шашырау амплитудаларын амплитуэдрон деп аталатын оң Грасман құрылымын пайдаланып, жазықтық лимитінде есептеуге болады. Грасман манифольді бейнелік бетті тану және пішін тану сияқты компьютерлік көру міндеттерінде де қолданылды және Grand Tour деп аталатын деректерді визуализациялау әдісінде қолданылады.
A key application of Grassmannians is as the "universal" embedding space for bundles with connections on compact manifolds. Another important application is Schubert calculus, which is the enumerative geometry involved in calculating the number of points, lines, planes, etc. in a projective space that intersect a given set of points, lines, etc., using the intersection theory of Schubert varieties. Subvarieties of Schubert cells can also be used to parametrize simultaneous eigenvectors of complete sets of commuting operators in quantum integrable spin systems, such as the Gaudin model, using the Bethe ansatz method. A further application is to the solution of hierarchies of classical completely integrable systems of partial differential equations, such as the Kadomtsev–Petviashvili equation and the associated KP hierarchy. These can be expressed in terms of abelian group flows on an infinite dimensional Grassmann manifold. The KP equations, expressed in Hirota bilinear form in terms of the KP Tau function are equivalent to the Plücker relations. Finite dimensional positive Grassmann manifolds can be used to express soliton solutions of KP equations which are nonsingular for real values of the KP flow parameters. The scattering amplitudes of subatomic particles in maximally supersymmetric super Yang Mills theory may be calculated in the planar limit via a positive Grassmannian construct called the amplituhedron. Grassmann manifolds have also found applications in computer vision tasks of video based face recognition and shape recognition, and are used in the data visualization technique known as the grand tour.