Введение

Математическое пространство

В математике грассманиан (названный в честь Германна Грассмана) — это дифференцируемое многообразие, параметризующее множество всех k-мерных линейных подпространств n-мерного векторного пространства над полем. Например, грассманиан Gr(1,n) — это пространство прямых, проходящих через начало координат в ℝⁿ, поэтому он совпадает с проективным пространством размерности n-1. Когда векторное пространство является вещественным или комплексным, грассманианы являются компактными гладкими многообразиями размерности k(n-k). В общем случае они имеют структуру несингулярного проективного алгебраического многообразия. Первые работы по нетривиальному грассманиану принадлежат Юлиусу Плюккеру, который изучал множество проективных прямых в реальном проективном 3-мерном пространстве, что эквивалентно Gr(1,3), параметризуя их с помощью так называемых координат Плюккера (см. ниже). Герман Грассман позже ввел это понятие в общем виде. Обозначения для грассманианов различаются у разных авторов и включают Gr(k,n), 𝒢(k,n), 𝔾(k,n) для обозначения грассманиана k-мерных подпространств n-мерного векторного пространства.

Мотивация

Придавая коллекции подпространств векторного пространства топологическую структуру, можно говорить о непрерывном выборе подпространств или открытых и закрытых коллекциях подпространств. Наделив их дополнительной структурой дифференциального многообразия, можно говорить о гладком выборе подпространств. Естественный пример исходит из тангенциальных расслоений гладких многообразий, вложенных в евклидово пространство. Предположим, у нас есть многообразие размерности , вложенное в . В каждой точке , касательное пространство к можно рассматривать как подпространство касательного пространства к , которое также является просто . Отображение, сопоставляющее каждой точке его касательное пространство, определяет отображение из M в (Для этого необходимо перенести касательное пространство в каждой точке так, чтобы оно проходило через начало координат, а не через , и, следовательно, определяло векторное подпространство размерности . Эта идея очень похожа на карту Гаусса для поверхностей в трехмерном пространстве.) Это с определенными усилиями можно расширить на все векторные расслоения над многообразием , так что каждое векторное расслоение порождает непрерывное отображение из в подходящим образом обобщенное грассманиановое многообразие, хотя для этого необходимо доказать различные теоремы о вложениях. Тогда мы обнаруживаем, что свойства наших векторных расслоений связаны со свойствами соответствующих отображений. В частности, мы обнаруживаем, что векторные расслоения, индуцирующие гомотопные отображения в грассманиановое многообразие, изоморфны. Здесь определение гомотопии опирается на понятие непрерывности, а следовательно, и на топологию.

Низкие размеры

Для 1=k = 1 грассманново многообразие 'Gr'(1, n) – это пространство прямых, проходящих через начало координат в n-мерном пространстве, поэтому оно совпадает с проективным пространством размерности n − 1. Для 1=k = 2 грассманново многообразие – это пространство всех двухмерных плоскостей, содержащих начало координат. В трехмерном евклидовом пространстве плоскость, содержащая начало координат, полностью определяется единственной прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярной этой плоскости (и наоборот); следовательно, пространства 'Gr'(2, 3), 'Gr'(1, 3) и 'P'^(2) (проективная плоскость) можно отождествить друг с другом. Наиболее простое грассманново многообразие, которое не является проективным пространством, – это 'Gr'(2, 4).

Грассманский план

В области алгебраической геометрии грассманиан можно построить как схему, представив его в виде представляемого функтора.

Встраивание Плюкера

Встраивание Плюккера — это естественное встраивание грассманиана в проективизацию внешней степени 𝑘-ой степени. Пусть 𝐿 — 𝑘-мерное подпространство 𝑛-мерного векторного пространства 𝑉. Чтобы определить встраивание, выберем базис {𝑣₁, …, 𝑣ₖ} для 𝐿 и обозначим 𝑃(𝐿) проективизацию внешнего произведения этих базисных элементов:

𝑃(𝐿) = [𝑣₁ ∧ ⋯ ∧ 𝑣ₖ]

где [⋅] обозначает класс эквивалентности проективной. Другой базис для 𝐿 даст другое внешнее произведение, но эти два элемента будут отличаться только на ненулевой скалярный множитель (детерминант матрицы перехода между базисами). Поскольку правая часть принимает значения в проективизированном пространстве, 𝑃(𝐿) определено однозначно. Чтобы увидеть, что это встраивание, заметим, что можно восстановить 𝐿 из 𝑃(𝐿) как линейную оболочку множества всех векторов 𝑣 ∈ 𝑉, таких что 𝑣 ∧ 𝑃(𝐿) = 0.

Кохомологическое кольцо комплекса Грасманна

Каждая точка в комплексном грассманиане определяет плоскость в пространстве. Протягивая эти плоскости над грассманианом, мы приходим к векторному расслоению, которое обобщает тавтологическое расслоение проективного пространства. Аналогично, ортогональные дополнения этих плоскостей размерности дают ортогональное векторное расслоение. Интегральная когомология грассманианов порождается, как кольцо, классами Черна. В частности, вся интегральная когомология имеет четную степень, как и в случае проективного пространства. Эти образующие подчиняются набору соотношений, которые определяют кольцо. Определяющие соотношения легко выразить для большего набора образующих, который состоит из классов Черна и . Тогда соотношения просто утверждают, что прямая сумма расслоений и тривиальна. Функториальность полных классов Черна позволяет записать это соотношение как.

Кольцо квантовой когомологии было вычислено Эдвардом Виттеном. Образующие идентичны тем, что и в классическом кольце когомологии, но верхнее соотношение изменено, чтобы отразить существование в соответствующей квантовой теории поля инстантона с фермионными нулевыми модами, которые нарушают степень когомологии, соответствующую состоянию, на единиц.

Приложения

Ключевое применение грассманновых многообразий – это роль "универсального" пространства вложений для пучков с соединениями на компактных многообразиях. Другое важное применение – это Шубертово исчисление, являющееся перечислительной геометрией, используемой для вычисления числа точек, прямых, плоскостей и т.д. в проективном пространстве, пересекающих заданное множество точек, прямых и т.д., посредством теории пересечений разновидностей Шуберта. Подварианты ячеек Шуберта также могут быть использованы для параметризации одновременных собственных векторов полных наборов коммутирующих операторов в квантовых интегрируемых спиновых системах, таких как модель Гаудина, с использованием метода Бете-анзац. Дальнейшее применение связано с решением иерархий классических полностью интегрируемых систем частных дифференциальных уравнений, таких как уравнение Кадомцева-Петвиашвили и соответствующая иерархия КП. Эти уравнения могут быть выражены в терминах потоков абелевых групп на бесконечномерном грассманновом многообразии. Уравнения КП, представленные в билинейной форме Хироты через функцию Тау КП, эквивалентны соотношениям Плюккера. Конечномерные положительные грассманновые многообразия могут быть использованы для представления солитонных решений уравнений КП, не являющихся сингулярными при вещественных значениях параметров потока КП. Амплитуды рассеяния субатомных частиц в максимально суперсимметричной теории супер-Янга-Миллса могут быть вычислены в плоском пределе с помощью положительной грассманновой конструкции, называемой амплитуэдром. Грасманновы многообразия также нашли применение в задачах компьютерного зрения, таких как распознавание лиц и форм на основе видео, и используются в методе визуализации данных, известном как "grand tour".