Кешендік, Риман және Симплектикалық Структуралы Манифольдтар

Кіріспе

Римандық, күрделі және симплектикалық құрылыммен көпқабатты математикада, әсіресе дифференциалдық геометрияда, Кэлер көпқабаттылығы – өзара үйлесімді үш құрылымға ие көпқабаттылық: күрделі құрылым, Римандық құрылым және симплектикалық құрылым. Бұл ұғымды алғаш рет 1930 жылы Ян Арнольдус Шоутен және Дэвид ван Данциг зерттеді, ал 1933 жылы Эрих Кэлер енгізді. Терминологияны Андре Вейль бекітті. Кэлер геометриясы – Кэлер көпқабаттылықтарын, олардың геометриясын және топологиясын, сондай-ақ Кэлер көпқабаттылықтарында жүзеге асырылатын құрылымдар мен құрастыруларды зерттеу саласы. Мысалы, Гермиттік Янг-Миллс байланыстары сияқты ерекше байланыстардың немесе Кэлер-Айнштейн метрикалары сияқты ерекше метрикалардың болуын зерттеу де осыған жатады. Кез келген тегіс күрделі проективті сорт – Кэлер көпқабаттылығы. Ходж теориясы алгебралық геометрияның орталық бөлігі болып табылады және Кэлер метрикасын қолдану арқылы дәлелденген.

Күрделі көзқарас

Кэхлер көптігі – жабық гермиттік метрикасы h бар күрделі көптікше X, оның қатысты 2-формасы ω жабық. Толығырақ айтқанда, h, X-тің әрбір нүктесіндегі TX тангенциалдық кеңістігінде оң анықталған гермиттік форманы береді, ал 2-форма ω тангенциалдық векторлар u және v үшін (мұндағы i – кешенді сан) былай анықталады:

Кэхлер көптігі X үшін Кэхлер формасы ω – нақты жабық (1,1) форма. Кэхлер көптігін Риманн көптігі ретінде де қарастыруға болады, онда Риманн метрикасы g арқылы анықталады:

Балама түрінде, Кэхлер көптігі X – бұл күрделі өлшемділігі n болатын гермиттік көптікше, онда X-тің әрбір нүктесі p үшін p төңірегінде голоморфты координаттар диаграммасы бар, онда метрика p-ге жақын Cn-дегі стандартты метрикамен 2-дәрежеге дейін сәйкес келеді. Яғни, егер диаграмма p-ні Cn-де 0-ге бейіндесе және метрика осы координаттарда жазылса, онда барлық a, b үшін {1, …, n} шарты орындалады:

2-форма ω жабық болғандықтан, ол де Рам когомологиясындағы элементті анықтайды, ол Кэхлер класы деп аталады.

Риманн көзқарасы

Кэхлер көптігі – 2n жұп өлшемді Риман көптігі X, оның голономия тобы U(n) бірлік тобының ішінде жатыр. Балама түрінде, X-тің әрбір нүктесіндегі жанама кеңістікте J кешенді құрылым бар (яғни, TX-тен өзіне дейінгі сызықтық түрлендіру, онда ) g метрикасын сақтайды (яғни, g(Ju, Jv) = g(u, v)) және J параллель көшіру арқылы сақталады.

Кэхлер потенциалдарының кеңістігі

Кейлер пішінін бір ғана Кейлер потенциалын қолдана отырып, жаһандық түрде сипаттау әрқашан мүмкін болмаса да, егер олар бір де Рам когомология класында болса, екі Кейлер пішінінің айырмасын осылайша сипаттауға болады. Бұл Ходж теориясының леммасының салдары. Атап айтқанда, егер компактты Кейлер көпқырлылығы болса, онда когомология класы Кейлер класы деп аталады. Бұл кластың кез келген басқа өкілі, мысалы, бір формаға дейін ерекшеленеді. Лемма одан әрі бұл дәл форманы тегіс функция ретінде жазуға болатынын көрсетеді. Жоғарыдағы жергілікті талқылауда, ашық ішкі жиынтықта жергілікті Кейлер класын қарастырамыз, ал Пуанкаре леммасы бойынша кез келген Кейлер пішіні жергілікті түрде нөлге когомолог болады. Осылайша жергілікті Кейлер потенциалы жергілікті жерде бірдей. Егер Кейлер класы болса, онда кез келген басқа Кейлер метрикасын мұндай тегіс функция ретінде жазуға болады. Бұл форма автоматты түрде оң форма емес, сондықтан класс үшін Кейлер потенциалдарының кеңістігі оң жағдайлар ретінде анықталады және әдетте былай белгіленеді: Егер екі Кейлер потенциалы тұрақтыға дейін ерекшеленсе, онда олар бірдей Кейлер метрикасын анықтайды, сондықтан класс бойынша Кейлер метрикаларының кеңістігін бөліндімен сәйкестендіруге болады. Кейлер потенциалдарының кеңістігі – қысқартылатын кеңістік. Осылайша Кейлер потенциалдарының кеңістігі белгілі бір кластағы барлық Кейлер метрикаларын бір уақытта зерттеуге мүмкіндік береді, және бұл перспектива Кейлер метрикаларының болуын зерттеуде пайдалы.

Келер коллекторлары және көлемді азайтушылар

Компактты Кэхлер көптігі X үшін, X-тің жабық кешенді кіші кеңістігінің көлемі оның гомология класымен анықталады. Бір жағынан, бұл күрделі кіші кеңістіктің геометриясы оның топологиясымен шектеледі дегенді білдіреді. (Бұл нақты субкөптүрліктер үшін мүлдем орындалмайды.) Нақтырақ айтқанда, Виртингер формуласы былай демек:

мұнда Y – r өлшемді жабық кешенді кіші кеңістік, ал ω – Кэхлер формасы. ω жабық болғандықтан, бұл интеграл тек H2r(X, R) кеңістігіндегі Y класына ғана тәуелді. Бұл көлемдер әрқашан оң болады, бұл күрделі кіші кеңістіктерге қатысты Кэхлер класы ω-ның күшті оңдығын көрсетеді. Атап айтқанда, ωn, n кешенді өлшемді компактты Кэхлер көптігі X үшін нөлге тең емес.

Бұған байланысты, компактты Кэхлер көптігі X-тің кез келген жабық кешенді кіші кеңістігі Y – минималды көптік (оның сингулярлық жиынының сыртында). Тіпті одан да көп: калибрленген геометрия теориясы бойынша, Y бір гомология класындағы барлық (нақты) циклдардың арасында көлемін азайтады.

Kähler сәйкестіктері

Келер көптүрлілігіндегі тегіс, күрделі және Римандық құрылымдардың күшті өзара әрекеттесуі салдарынан, Келер көптүрлілігінің күрделі дифференциалдық формаларындағы әртүрлі операторлар арасында табиғи тепе-теңдіктер бар, олар кез келген күрделі көптүрліліктер үшін орын алмайды. Бұл тепе-теңдіктер сыртқы туындыны, Долбо операторларын және олардың түйіндес операторларын, Лаплас операторларын, Лефшец операторын және оның түйіндес операторын, жиырылу операторын байланыстырады. Бұл тепе-теңдіктер Келер көптүрліліктеріндегі аналитикалық құралдар жиынтығының негізін құрайды және Ходж теориясымен біріктірілгенде, Келер көптүрліліктерінің көптеген маңызды қасиеттерін және олардың когомологиясын дәлелдеуде маңызды рөл атқарады. Атап айтқанда, Келер тепе-теңдіктері Кодайра және Наканоның жоғалу теоремаларын, Лефшец гипержазық теоремасын, Хард Лефшец теоремасын, Ходж-Риманның билинейлік қатынастарын және Ходж индексі теоремасын дәлелдеуде өте маңызды.

Қайыңдық Кэхлер көптіктерінің топологиясы

Ходж теориясының қарапайым салдары – компактты Келер көптігінің b2a+1 әрбір тақ Бетти саны Ходж симметриясы бойынша жұп болады. Бұл жалпы компактты күрделі көптүрліліктер үшін дұрыс емес, Хопф бетінің мысалында көрсетілгендей, ол S1 × S3-қа диффеоморфты және демек, 1 = b1 = 1. "Келер жиынтығы" – Ходж теориясына сүйенген, компактты Келер көптүрліліктерінің когомологиясына қосымша шектеулер жинағы. Нәтижелерге Лефшец гипержазықтық теоремасы, қатты Лефшец теоремасы және Ходж-Риман билинейлік қатынастары кіреді. Байланысты нәтиже – әрбір компактты Келер көптігі рационалды гомотопия теориясының мағынасында формальды. Қай топтар компактты Келер көптүрліліктерінің негізгі топтары бола алады, яғни Келер топтары деген сұрақ әлі де ашық. Ходж теориясы мүмкін Келер топтарына көптеген шектеулер қояды. Ең қарапайым шектеу – Келер тобының абелиандалуы жұп дәрежелі болуы керек, себебі компактты Келер көптігінің Бетти саны b1 жұп. (Мысалы, Z бүтін сандары компактты Келер көптүрлігінің негізгі тобы бола алмайды.) Абельдік емес Ходж теориясы сияқты теорияның кеңейтімдері, қай топтар Келер тобы бола алатыны туралы қосымша шектеулер береді. Келер шарты болмаған жағдайда, жағдай қарапайым: Клиффорд Таубес, әрбір шекті түрде берілген топтың 3-өлшемді қандай да бір компактты күрделі көптүрліктің негізгі тобы ретінде табылатынын көрсетті. (Керісінше, кез келген жабық көптүрліктің негізгі тобы шекті түрде беріледі.)

Күрделі проективті сорттар мен компактті Кэхлер көптүліктерінің сипаттамалары

Кодайраның кіріктіру теоремасы барлық тығыз Кэхлер көптүрліліктерінің арасында тегіс күрделі проективті түрлерін сипаттайды. Атап айтқанда, тығыз күрделі көптік X проективті болады, егер және тек қана егер X-де Кэхлер формасы ω болса, оның класы интегралды кохомология тобының кескінінде болады (Кэхлер формасының оң еселігі Кэхлер формасы болғандықтан, бұл Х-де Кэхлер формасы бар, оның класы келеді дегенге тең). Осы шарттарды қанағаттандыратын Кэхлер формасы ω (яғни Кэхлер формасы ω интегралды дифференциалдық форма) сонымен қатар Ходж формасы деп аталады, ал бұл кездегі Кэхлер метрикасы Ходж метрикасы деп аталады. Ходж метрикасы бар тығыз Кэхлер көптіктері Ходж көптіктері деп те аталады. Көптеген қасиеттері Кэхлер көптүрліліктерінің сәл үлкен жалпылығында сақталады, яғни лемма орындалатын тығыз күрделі көптүрліліктерде. Әсіресе, Ботт-Черн кохомологиясы тығыз күрделі көптүрліліктердің Долбоо кохомологиясына балама болып табылады, және олар егер көптүрлілік лемманы қанағаттандырса ғана изоморфты болады, ал көптүрлілік Кэхлер болғанда келіседі. Жалпы, Ботт-Черн кохомологиясынан Долбоо кохомологиясына дейінгі табиғи картаның ядросы көптүрліліктің Кэхлер бола алмауы туралы ақпаратты қамтиды. Кез келген тығыз күрделі қисық проективті, бірақ кем дегенде 2 күрделі өлшемде проективті емес көптеген тығыз Кэхлер көптүрліліктері бар; мысалы, көпшілігі тығыз күрделі торлар проективті емес. Кез келген тығыз Кэхлер көптүрлілігін кем дегенде деформациялауға бола ма (кешенді құрылымын үздіріссіз өзгертіп) тегіс проективті түрге дейін? Кунхико Кодайраның беттерді жіктеу жөніндегі жұмысы 2-өлшемді күрделі әр тығыз Кэхлер көптүрлілігін шынымен тегіс проективті түрге деформациялауға болатынын көрсетеді. Алайда Клэр Воазиннің көрсетуінше, бұл кем дегенде 4 өлшемде орындалмайды. Ол 4 өлшемді күрделі Кэхлер көптүрлілігін құрастырды, ол тіпті кез келген тегіс күрделі проективті түрге гомотопиялық түрде де тең емес. Сондай-ақ, барлық тығыз күрделі көптүрліліктердің арасында тығыз Кэхлер көптүрліліктерінің сипаттамасын сұрауға болады. 2 өлшемді күрделі кеңістікте Кодайра мен Юм Тонг Сиу тығыз күрделі беттің Кэхлер метрикасына ие екенін көрсетті, егер оның бірінші Бетти саны жұп болса. Бұл нәтижені дәлелдеудің басқа әдісін Бюхдаль мен Ламари тәуелсіз түрде ұсынды, ол күрделі күрделі беттердің жіктемесін қолдана отырып, нақты жағдайды зерттеуді қажет етпейді. Осылайша, "Кэхлер" - тығыз күрделі беттер үшін таза топологиялық қасиет. Алайда, Хирокананың мысалынан көрінетіндей, бұл кем дегенде 3 өлшемде орындалмайды. Толығырақ айтқанда, мысал - бұл 1 параметрлі отбасы, 3 бүктемелі тегіс тығыз күрделі, сондықтан көптеген талшықтар Кэхлер (әрі тіпті проективті), бірақ бір талшық Кэхлер емес. Осылайша, тығыз Кэхлер көптүрлілігі Кэхлер емес күрделі көптүрлілікке диффеоморфты болуы мүмкін.

The Kodaira embedding theorem characterizes smooth complex projective varieties among all compact Kähler manifolds. Namely, a compact complex manifold X is projective if and only if there is a Kähler form ω on X whose class in is in the image of the integral cohomology group (Because a positive multiple of a Kähler form is a Kähler form, it is equivalent to say that X has a Kähler form whose class in comes from .) Equivalently, X is projective if and only if there is a holomorphic line bundle L on X with a hermitian metric whose curvature form ω is positive (since ω is then a Kähler form that represents the first Chern class of L in ). The Kähler form ω that satisfies these conditions (that is, Kähler form ω is an integral differential form) is also called the Hodge form, and the Kähler metric at this time is called the Hodge metric. The compact Kähler manifolds with Hodge metric are also called Hodge manifolds. Many properties of Kähler manifolds hold in the slightly greater generality of manifolds, that is compact complex manifolds for which the lemma holds. In particular the Bott–Chern cohomology is an alternative to the Dolbeault cohomology of a compact complex manifolds, and they are isomorphic if and only if the manifold satisfies the lemma, and in particular agree when the manifold is Kähler. In general the kernel of the natural map from Bott–Chern cohomology to Dolbeault cohomology contains information about the failure of the manifold to be Kähler. Every compact complex curve is projective, but in complex dimension at least 2, there are many compact Kähler manifolds that are not projective; for example, most compact complex tori are not projective. One may ask whether every compact Kähler manifold can at least be deformed (by continuously varying the complex structure) to a smooth projective variety. Kunihiko Kodaira's work on the classification of surfaces implies that every compact Kähler manifold of complex dimension 2 can indeed be deformed to a smooth projective variety. Claire Voisin found, however, that this fails in dimensions at least 4. She constructed a compact Kähler manifold of complex dimension 4 that is not even homotopy equivalent to any smooth complex projective variety. One can also ask for a characterization of compact Kähler manifolds among all compact complex manifolds. In complex dimension 2, Kodaira and Yum Tong Siu showed that a compact complex surface has a Kähler metric if and only if its first Betti number is even. An alternative proof of this result which does not require the hard case by case study using the classification of compact complex surfaces was provided independently by Buchdahl and Lamari. Thus "Kähler" is a purely topological property for compact complex surfaces. Hironaka's example shows, however, that this fails in dimensions at least 3. In more detail, the example is a 1 parameter family of smooth compact complex 3 folds such that most fibers are Kähler (and even projective), but one fiber is not Kähler. Thus a compact Kähler manifold can be diffeomorphic to a non Kähler complex manifold.

Кэхлер-Эйнштейн коллекторлары

Келер көптігінің Риччи қисықтығы тұрақты болса, онда ол Келер–Эйнштейн деп аталады. Эквивалентті түрде, Риччи қисықтығы тензоры тұрақты λ-ға көбейтілген метрикалық тензорға тең, яғни Ric = λg. Эйнштейнге сілтеме жасау себебі – жалпы салыстырмалылық теориясы, ол массаның болмаған жағдайында кеңістік-уақыттың 4 өлшемді Лоренцтік көптілік екенін, және оның Риччи қисықтығы нөлге тең екенін көрсетеді. Толықрақ мәліметтер үшін Эйнштейн көптіктері туралы мақаланы қараңыз. Риччи қисықтығы кез келген Риманн көптігі үшін анықталғанымен, ол Келер геометриясында ерекше рөл атқарады: Келер көптігі X-тің Риччи қисықтығын нақты жабық (1,1) форма ретінде қарастыруға болады, ол c1(X) (жанама бундельдің бірінші Черн класы) көрсетеді. Осыдан келіп, компактты Келер–Эйнштейн көптігі X-тің канондық бунделі KX анти-ампли, гомологиялық тривиальды немесе ампли болуы керек, бұл Эйнштейн тұрақтысы λ оң, нөлдік немесе теріс болуына байланысты. Осы үш типтегі Келер көптіктері сәйкесінше Фано, Калаби–Яу немесе ампли канондық бундельмен (бұл жалпы типті білдіреді) деп аталады. Кодайраның кіріктіру теоремасы бойынша Фано көптіктері және ампли канондық бундельі бар көптіктері автоматты түрде проективті сорттар болып табылады. Шинг Тунг Яу Калаби болжамын дәлелдеді: ампли канондық бундельі бар әрбір тегіс проективті сорттың Келер–Эйнштейн метрикасы (тұрақты теріс Риччи қисықтығымен) бар, ал әрбір Калаби–Яу көптігінің Келер–Эйнштейн метрикасы (нөлдік Риччи қисықтығымен) бар. Бұл нәтижелер алгебралық сорттарды жіктеу үшін маңызды, сондай-ақ ампли канондық бундельі бар сорттар үшін Мияока–Яу теңсіздігі және Калаби–Яу көптіктері үшін Бовиль–Богомолов ыдырауы сияқты қолданыстарға ие. Керісінше, әрбір тегіс Фано сортының Келер–Эйнштейн метрикасы болмайды (ол тұрақты оң Риччи қисықтығына ие болар еді). Алайда, Сюйсионг Чен, Саймон Дональдсон және Сонг Сун Яу–Тян–Дональдсон болжамын дәлелдеді: тегіс Фано сортының Келер–Эйнштейн метрикасы бар, егер ол K-тұрақты болса ғана, бұл таза алгебралық-геометриялық шарт. Келер–Эйнштейн метрикасының болуы мүмкін емес жағдайларда, тұрақты скалярлық қисықтыққа ие Келер метрикасы және экстремалды Келер метрикасын қоса алғанда, жеңіл жалпылауларды зерттеуге болады. Келер–Эйнштейн метрикасының болуы мүмкін болғанда, осы кеңейтілген жалпылаулар автоматты түрде Келер–Эйнштейн болып табылады.

A Kähler manifold is called Kähler–Einstein if it has constant Ricci curvature. Equivalently, the Ricci curvature tensor is equal to a constant λ times the metric tensor, Ric = λg. The reference to Einstein comes from general relativity, which asserts in the absence of mass that spacetime is a 4 dimensional Lorentzian manifold with zero Ricci curvature. See the article on Einstein manifolds for more details. Although Ricci curvature is defined for any Riemannian manifold, it plays a special role in Kähler geometry: the Ricci curvature of a Kähler manifold X can be viewed as a real closed (1,1) form that represents c1(X) (the first Chern class of the tangent bundle) in It follows that a compact Kähler–Einstein manifold X must have canonical bundle KX either anti ample, homologically trivial, or ample, depending on whether the Einstein constant λ is positive, zero, or negative. Kähler manifolds of those three types are called Fano, Calabi–Yau, or with ample canonical bundle (which implies general type), respectively. By the Kodaira embedding theorem, Fano manifolds and manifolds with ample canonical bundle are automatically projective varieties. Shing Tung Yau proved the Calabi conjecture: every smooth projective variety with ample canonical bundle has a Kähler–Einstein metric (with constant negative Ricci curvature), and every Calabi–Yau manifold has a Kähler–Einstein metric (with zero Ricci curvature). These results are important for the classification of algebraic varieties, with applications such as the Miyaoka–Yau inequality for varieties with ample canonical bundle and the Beauville–Bogomolov decomposition for Calabi–Yau manifolds. By contrast, not every smooth Fano variety has a Kähler–Einstein metric (which would have constant positive Ricci curvature). However, Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, and Song Sun proved the Yau–Tian–Donaldson conjecture: a smooth Fano variety has a Kähler–Einstein metric if and only if it is K stable, a purely algebro geometric condition. In situations where there cannot exist a Kähler–Einstein metric, it is possible to study mild generalizations including constant scalar curvature Kähler metrics and extremal Kähler metrics. When a Kähler–Einstein metric can exist, these broader generalizations are automatically Kähler–Einstein.

Голоморфты қима қисығы

Риман көптігі X-тің Евклид кеңістігіндегі стандартты метрикадан ауытқуы қималық қисықтықпен өлшенеді, ол X-тің тангенциалды кеңістігіндегі кез келген нақты 2 жазықтығына сәйкес келетін нақты сан. Мысалы, CPn-нің стандартты метрикасының қималық қисықтығы (n ≥ 2) әрбір нүктеде 1/4 пен 1 аралығында өзгереді. Гермиттік көптік үшін (мысалы, Кэлер көптігі), голоморфты қималық қисықтық – тангенциалды кеңістіктегі кешенді түзулермен шектелген қималық қисықтық. Бұл CPn-нің кез келген жерде 1-ге тең голоморфты қималық қисықтығына ие екенін көрсетеді. Басқа жағынан, Cn-дегі ашық бірлік шар толық Кэлер метрикасына ие, оның голоморфты қималық қисықтығы -1-ге тең. (Бұл метрика бойынша шар кешенді гиперболалық кеңістік деп те аталады.) Голоморфты қималық қисықтық негізгі кешенді көптіктің кешенді геометриясымен тығыз байланысты. Ахлфорс-Шварц леммасының қарапайым салдары ретінде, егер көптік теріс голоморфты қималық қисықтығы (теріс тұрақтымен шектелген) бар Гермиттік метрикаға ие болса, онда ол Броди гиперболалық болады (яғни, кез келген голоморфты бейнелеу тұрақты). Егер X компакт болса, онда бұл көптіктің Кобаяси гиперболалық болуымен тең. Екінші жағынан, егер Kähler метрикасы оң голоморфты қималық қисықтығына ие болса, онда Ян Сяокуи X-тің рационалды түрде байланысты екенін көрсетті. Кешенді геометрияның ерекше ерекшелігі – голоморфты қималық қисықтық кешенді субкөптіліктерде кемиді. (Осыған ұқсас нәрсе голоморфты екі қималық қисықтық сияқты жалпы ұғымға да қатысты.) Мысалы, Cn-нің кез келген кешенді субкөптігі (Cn-нен туындаған метрикасы бар) голоморфты қималық қисықтығы ≤ 0-ге ие. Гермиттік көптіктер арасындағы голоморфты бейнелеулер үшін голоморфты қималық қисықтық Шварц леммасының екінші реттік бағалауында пайда болатын мақсатты қисықтық терминін басқару үшін жеткілікті емес. Бұл Ян Сяокуи мен Фаньян Чжэн енгізген нақты екі қималық қисықты қарастыруға себеп болды. Бұл Ман Чун Ли мен Джеффри Стритстің жұмыстарында да кешенді қисықтық операторы деген атпен кездеседі.

The deviation of a Riemannian manifold X from the standard metric on Euclidean space is measured by sectional curvature, which is a real number associated to any real 2 plane in the tangent space of X at a point. For example, the sectional curvature of the standard metric on CPn (for n ≥ 2) varies between 1/4 and 1 at every point. For a Hermitian manifold (for example, a Kähler manifold), the holomorphic sectional curvature means the sectional curvature restricted to complex lines in the tangent space. This behaves more simply, in that CPn has holomorphic sectional curvature equal to 1 everywhere. At the other extreme, the open unit ball in Cn has a complete Kähler metric with holomorphic sectional curvature equal to −1. (With this metric, the ball is also called complex hyperbolic space.) The holomorphic sectional curvature is intimately related to the complex geometry of the underlying complex manifold. It is an elementary consequence of the Ahlfors Schwarz lemma that if is a Hermitian manifold with a Hermitian metric of negative holomorphic sectional curvature (bounded above by a negative constant), then it is Brody hyperbolic (i. e., every holomorphic map is constant). If X happens to be compact, then this is equivalent to the manifold being Kobayashi hyperbolic. On the other hand, if is a compact Kähler manifold with a Kähler metric of positive holomorphic sectional curvature, Yang Xiaokui showed that X is rationally connected. A remarkable feature of complex geometry is that holomorphic sectional curvature decreases on complex submanifolds. (The same goes for a more general concept, holomorphic bisectional curvature.) For example, every complex submanifold of Cn (with the induced metric from Cn) has holomorphic sectional curvature ≤ 0. For holomorphic maps between Hermitian manifolds, the holomorphic sectional curvature is not strong enough to control the target curvature term appearing in the Schwarz lemma second order estimate. This motivated the consideration of the real bisectional curvature, introduced by Xiaokui Yang and Fangyang Zheng. This also appears in the work of Man Chun Lee and Jeffrey Streets under the name complex curvature operator.

Мысалдар

Күрделі кеңістік Cn стандартты гермиттік метрикасымен Кэлер көптігі болып табылады. Cn/Λ (Λ толық тор) компактты кешенді тор Cn-дегі Евклидтік метрикадан жазық метриканы мұра етеді, сондықтан ол компактты Кэлер көптігі болып табылады. Бағдарланған 2-массивтегі кез келген Риман метрикасы Кэлер болып табылады. (Шындығында, оның голономиялық тобы айналу тобы SO(2)-ге кіреді, ол бірлік тобы U(1)-ге тең.) Атап айтқанда, бағдарланған Риман 2-массиві канондық түрде Риман беті болып табылады; бұл изотермиялық координаттардың болуы деп аталады. Керісінше, әрбір Риман беті Кэлер болып табылады, өйткені кез келген гермиттік метриканың Кэлер формасы өлшемдік себептермен жабық. Комплексті проективті кеңістік CPn-де Fubini–Study метрикасы деп аталатын Кэлер метрикасының стандартты таңдауы бар. Бір сипаттама стандартты гермиттік пішінді сақтайтын Cn+1 сызықтық автоморфизмдерінің тобы U(n + 1) бірлік тобын қамтиды. Fubini–Study метрикасы – CPn-де U(n + 1) әрекетіне қатысты (оң еселікке дейін) бірегей Риман метрикасы. CPn-нің табиғи жалпыламасы компакт типтегі гермиттік симметриялық кеңістіктер, мысалы, Грассманндықтар арқылы беріледі. Компакт типтегі гермиттік симметриялық кеңістіктегі табиғи Кэлер метрикасының қималық қисықтығы ≥ 0 болады. Кэлер көптігінің күрделі субкөптігіндегі индукцияланған метрика Кэлер болып табылады. Атап айтқанда, кез келген Штайн көптігі (Cn-ге енгізілген) немесе тегіс проективті алгебралық сорт (CPn-ге енгізілген) Кэлер болып табылады. Бұл үлкен мысалдар класы. Cn-дегі ашық бірлік шар B Бергман метрикасы деп аталатын толық Кэлер метрикасына ие, оның голоморфты қималық қисықтығы −1-ге тең. Шардың табиғи жалпыламасы гермиттік симметриялық кеңістіктермен беріледі. Кез келген гермиттік симметриялық X кеңістігі тығыз емес типтегі Cn-дегі шектелген доменге изоморфты, ал X-тың Бергман метрикасы қималық қисықтығы ≤ 0 болатын толық Кэлер метрикасы болып табылады. Әрбір K3 беті Кэлер болып табылады (Siu бойынша).

Complex space Cn with the standard Hermitian metric is a Kähler manifold. A compact complex torus Cn/Λ (Λ a full lattice) inherits a flat metric from the Euclidean metric on Cn, and is therefore a compact Kähler manifold. Every Riemannian metric on an oriented 2 manifold is Kähler. (Indeed, its holonomy group is contained in the rotation group SO(2), which is equal to the unitary group U(1).) In particular, an oriented Riemannian 2 manifold is a Riemann surface in a canonical way; this is known as the existence of isothermal coordinates. Conversely, every Riemann surface is Kähler since the Kähler form of any Hermitian metric is closed for dimensional reasons. There is a standard choice of Kähler metric on complex projective space CPn, the Fubini–Study metric. One description involves the unitary group U(n + 1), the group of linear automorphisms of Cn+1 that preserve the standard Hermitian form. The Fubini–Study metric is the unique Riemannian metric on CPn (up to a positive multiple) that is invariant under the action of U(n + 1) on CPn. One natural generalization of CPn is provided by the Hermitian symmetric spaces of compact type, such as Grassmannians. The natural Kähler metric on a Hermitian symmetric space of compact type has sectional curvature ≥ 0. The induced metric on a complex submanifold of a Kähler manifold is Kähler. In particular, any Stein manifold (embedded in Cn) or smooth projective algebraic variety (embedded in CPn) is Kähler. This is a large class of examples. The open unit ball B in Cn has a complete Kähler metric called the Bergman metric, with holomorphic sectional curvature equal to −1. A natural generalization of the ball is provided by the Hermitian symmetric spaces of noncompact type, such as the Siegel upper half space. Every Hermitian symmetric space X of noncompact type is isomorphic to a bounded domain in some Cn, and the Bergman metric of X is a complete Kähler metric with sectional curvature ≤ 0. Every K3 surface is Kähler (by Siu).