Введение

Многообразие с римановой, комплексной и симплектической структурой
В математике, и особенно в дифференциальной геометрии, многообразие Кэлера — это многообразие, обладающее тремя взаимно совместимыми структурами: комплексной структурой, римановой структурой и симплектической структурой. Эта концепция впервые была изучена Яном Арнольдусом Шутеном и Дэвидом ван Данцигом в 1930 году, а затем введена Эрихом Кэлером в 1933 году. Терминология была окончательно установлена Андре Вейлем. Геометрия Кэлера охватывает изучение многообразий Кэлера, их геометрии и топологии, а также изучение структур и построений, которые могут быть выполнены на многообразиях Кэлера, таких как существование специальных связностей, например, связностей Эрмита — Янга — Миллса, или специальных метрик, таких как метрики Кэлера — Эйнштейна. Каждое гладкое комплексное проективное многообразие является многообразием Кэлера. Теория Ходжа является центральным разделом алгебраической геометрии и доказана с использованием метрик Кэлера.

Сложный взгляд

Калерово многообразие — это комплексное многообразие X с эрмитовой метрикой h, связанная с которой 2-форма ω замкнута. Более подробно, h задает положительно определенную эрмитову форму на тангентном пространстве TX в каждой точке X, а 2-форма ω определяется для тангентных векторов u и v (где i — мнимая единица). Для калерова многообразия X калерова форма ω является вещественной замкнутой (1,1)-формой. Калерово многообразие также можно рассматривать как риманово многообразие, при этом риманова метрика g определяется как

Эквивалентно, калерово многообразие X — это эрмитово многообразие комплексной размерности n, такое что для каждой точки p из X существует голоморфная координатная окрестность вокруг p, в которой метрика согласуется со стандартной метрикой на Cn до второго порядка вблизи p. То есть, если координатная окрестность отображает p в 0 в Cn, и метрика записана в этих координатах как , то

для всех a, b из {1, ..., n}. Поскольку 2-форма ω замкнута, она определяет элемент в когомологиях де Рама, известный как класс Калера.

Риманновская точка зрения

Калерово многообразие — это риманово многообразие X четной размерности 2n, группа голономии которого содержится в унитарной группе U(n). Эквивалентно, существует комплексная структура J на касательном пространстве X в каждой точке (то есть, вещественное линейное отображение из TX в себя, такое что ) сохраняющая метрику g (то есть, g(Ju, Jv) = g(u, v)) и инвариантная относительно параллельного переноса.

Пространство потенциалов Кэхлера

Хотя не всегда возможно описать форму Кэлера глобально, используя один потенциал Кэлера, можно описать разницу двух форм Кэлера таким образом, при условии, что они находятся в одном и том же классе когомологий де Рама. Это следствие леммы из теории Ходжа. А именно, если – компактное кэлерово многообразие, то класс когомологий называется кэлеровым классом. Любой другой представитель этого класса, скажем, отличается от на для некоторой одномерной формы. Лемма далее утверждает, что эта точная форма может быть записана как для некоторой гладкой функции. В локальном рассмотрении выше берется локальный кэлеров класс на открытом подмножестве , и по лемме Пуанкаре любая форма Кэлера локально когомологична нулю. Таким образом, локальный кэлеров потенциал одинаков для локально. В общем случае, если – кэлеров класс, то любая другая кэлерова метрика может быть записана как для некоторой гладкой функции. Эта форма не является автоматически положительно определенной, поэтому пространство кэлеровых потенциалов для класса определяется как множество положительно определенных случаев и обычно обозначается как :

Если два кэлеровых потенциала отличаются на константу, то они определяют одну и ту же кэлерову метрику, поэтому пространство кэлеровых метрик в классе можно отождествить с частным. Пространство кэлеровых потенциалов является стягиваемым пространством. Таким образом, пространство кэлеровых потенциалов позволяет изучать все кэлеровы метрики в заданном классе одновременно, и эта перспектива важна при изучении результатов существования для кэлеровых метрик.

Коллекторы и минимизаторы объема Kähler

Для компактного кэлерова многообразия X объем замкнутого комплексного подпространства определяется его классом гомологии. В некотором смысле это означает, что геометрия комплексного подпространства ограничена его топологией. (Это совершенно неверно для вещественных подмногообразий.) В частности, формула Виртингера утверждает, что

где Y – замкнутое комплексное подпространство размерности r, а ω – кэлерова форма. Поскольку ω замкнута, этот интеграл зависит только от класса Y в H2r(X, ℝ). Эти объемы всегда положительны, что выражает сильную положительность кэлерова класса ω относительно комплексных подпространств. В частности, ωⁿ не обращается в нуль на компактном кэлеровом многообразии X комплексной размерности n.

Связанный факт состоит в том, что каждое замкнутое комплексное подпространство Y компактного кэлерова многообразия X является минимальным подмногообразием (за исключением своего сингулярного множества). Более того, согласно теории калиброванной геометрии, Y минимизирует объем среди всех (вещественных) циклов в том же классе гомологии.

Идентичность Кэхлера

В результате сильного взаимодействия между гладкими, комплексными и римановыми структурами на многообразии Келера существуют естественные тождества между различными операторами, действующими на комплексные дифференциальные формы многообразий Келера, которые не выполняются для произвольных комплексных многообразий. Эти тождества связывают внешнюю производную, операторы Долбо и их сопряженные, лапласианы, оператор Лефшеца и его сопряженный – оператор стягивания. Эти тождества составляют основу аналитического аппарата на многообразиях Келера и, в сочетании с теорией Ходжа, являются фундаментальными при доказательстве многих важных свойств многообразий Келера и их когомологий. В частности, тождества Келера критически важны для доказательства теорем исчезновения Кодайры и Накано, теоремы Лефшеца о гиперплоскости, теоремы Хард Лефшеца, двулинейных соотношений Ходжа — Римана и теоремы индекса Ходжа.

Топология компактных коллекторов Кэхлера

Простым следствием теории Ходжа является то, что каждое нечётное число Бетти b2a+1 компактного кэлерова многообразия чётно в силу симметрии Ходжа. Это неверно для компактных комплексных многообразий в общем случае, что демонстрирует пример поверхности Хопфа, диффеоморфной S¹ × S³, и, следовательно, имеющей b₁ = 1. "Кэлеров пакет" – это совокупность дополнительных ограничений на когомологию компактных кэлеровых многообразий, основанных на теории Ходжа. К этим результатам относятся теорема Лефшеца о гиперплоскости, теорема о жёстком Лефшеце и билинейные соотношения Ходжа — Римана. Связанный результат заключается в том, что каждое компактное кэлерово многообразие является формальным в смысле рациональной теории гомотопии. Вопрос о том, какие группы могут быть фундаментальными группами компактных кэлеровых многообразий, называемых кэлеровыми группами, остаётся открытым. Теория Ходжа накладывает множество ограничений на возможные кэлеровы группы. Самое простое ограничение состоит в том, что абелианизация кэлеровой группы должна иметь чётный ранг, поскольку число Бетти b₁ компактного кэлерова многообразия чётно. (Например, целые числа Z не могут быть фундаментальной группой компактного кэлерова многообразия.) Расширения теории, такие как неабелева теория Ходжа, накладывают дополнительные ограничения на то, какие группы могут быть кэлеровыми группами. Без кэлерова условия ситуация проще: Клиффорд Таубес показал, что каждая конечно представленная группа является фундаментальной группой некоторого компактного комплексного многообразия размерности 3. (Обратно, фундаментальная группа любого замкнутого многообразия конечно представлена.)

Характеристики сложных проективных разновидностей и компактных коллекторов Кэхлера

Теорема вложения Кодайры характеризует гладкие комплексные проективные многообразия среди всех компактных многообразий Кэлера. А именно, компактное комплексное многообразие X является проективным тогда и только тогда, когда существует кэлерова форма ω на X, класс которой в является образом интегральной когомологической группы (Поскольку положительное кратное кэлеровой формы является кэлеровой формой, это эквивалентно тому, что X имеет кэлерову форму, класс которой в исходит из ). Эквивалентно, X является проективным тогда и только тогда, когда на X существует голоморфный линейный расслоение L с эрмитовой метрикой, форма кривизны которой ω положительна (поскольку ω тогда является кэлеровой формой, представляющей первый класс Черна L в ). Кэлерова форма ω, удовлетворяющая этим условиям (то есть кэлерова форма ω является интегральной дифференциальной формой), также называется формой Ходжа, а кэлерова метрика в этот момент называется метрикой Ходжа. Компактные многообразия Кэлера с метрикой Ходжа также называются многообразиями Ходжа. Многие свойства многообразий Кэлера сохраняются в несколько большей общности для многообразий, то есть компактных комплексных многообразий, для которых выполняется лемма . В частности, когомологии Ботта — Черна являются альтернативой когомологиям Долбо для компактных комплексных многообразий, и они изоморфны тогда и только тогда, когда многообразие удовлетворяет лемме , и в частности совпадают, когда многообразие является кэлеровым. В общем случае ядро естественного отображения из когомологий Ботта — Черна в когомологии Долбо содержит информацию о том, что многообразие не является кэлеровым. Каждая компактная комплексная кривая является проективной, но в комплексном измерении не менее 2 существует множество компактных многообразий Кэлера, которые не являются проективными; например, большинство компактных комплексных торов не являются проективными. Можно спросить, можно ли хотя бы деформировать каждое компактное многообразие Кэлера (непрерывно изменяя комплексную структуру) до гладкого проективного многообразия. Работа Кунихико Кодайры по классификации поверхностей показывает, что каждое компактное многообразие Кэлера комплексного измерения 2 действительно можно деформировать до гладкого проективного многообразия. Однако Клэр Воазин обнаружила, что это не выполняется в измерениях не менее 4. Она построила компактное многообразие Кэлера комплексного измерения 4, которое даже не гомотопически эквивалентно любому гладкому комплексному проективному многообразию. Можно также задаться вопросом о характеристизации компактных многообразий Кэлера среди всех компактных комплексных многообразий. В комплексном измерении 2 Кодайра и Юм Тонг Сиу показали, что компактная сложная поверхность имеет кэлерову метрику тогда и только тогда, когда ее первое число Бетти четно. Независимо Бухдалем и Ламари было предоставлено альтернативное доказательство этого результата, которое не требует сложного исследования частных случаев с использованием классификации компактных комплексных поверхностей. Таким образом, "кэлеров" является чисто топологическим свойством для компактных комплексных поверхностей. Однако пример Хиронаки показывает, что это не выполняется в измерениях не менее 3. Более подробно, пример представляет собой однопараметрическое семейство гладких компактных комплексных 3-многообразий, таких, что большинство волокон являются кэлеровыми (и даже проективными), но одно волокно не является кэлеровым. Таким образом, компактное многообразие Кэлера может быть диффеоморфно некэлерову комплексному многообразию.

Коллекторы Кэхлера-Эйнштейна

Калерский многообразный называется калеровским–эйнштейновым, если он имеет постоянную кривизну Риччи. Эквивалентно, тензор кривизны Риччи равен постоянной λ, умноженной на метрический тензор, Ric = λg. Ссылка на Эйнштейна происходит из общей теории относительности, которая утверждает, что в отсутствие массы пространство-время является 4-мерным лоренцевым многообразием с нулевой кривизной Риччи. Более подробно см. статью о многообразиях Эйнштейна. Хотя кривизна Риччи определяется для любого риманова многообразия, она играет особую роль в калеровой геометрии: кривизна Риччи калерова многообразия X может рассматриваться как реальная замкнутая (1,1)-форма, представляющая c1(X) (первый класс Черна касательного расслоения). Из этого следует, что компактный калеровский–эйнштейнов многообразный X должен иметь каноническое расслоение KX либо антиамплифицированным, гомологически тривиальным, либо амплифицированным, в зависимости от того, является ли эйнштейнова постоянная λ положительной, нулевой или отрицательной. Калеровы многообразия этих трех типов называются фановыми, калаби–яу и с амплифицированным каноническим расслоением (что подразумевает общий тип) соответственно. По теореме вложения Кодайры, фановы многообразия и многообразия с амплифицированным каноническим расслоением автоматически являются проективными многообразиями. Шинг Тунг Яу доказал гипотезу Калаби: каждое гладкое проективное многообразие с амплифицированным каноническим расслоением имеет калеровскую–эйнштейнову метрику (с постоянной отрицательной кривизной Риччи), и каждое многообразие Калаби–Яу имеет калеровскую–эйнштейнову метрику (с нулевой кривизной Риччи). Эти результаты важны для классификации алгебраических многообразий, с такими приложениями, как неравенство Мияока–Яу для многообразий с амплифицированным каноническим расслоением и разложение Бовиля–Богомолова для многообразий Калаби–Яу. Напротив, не каждое гладкое фановое многообразие имеет калеровскую–эйнштейнову метрику (которая имела бы постоянную положительную кривизну Риччи). Однако, Сюксион Чэнь, Саймон Дональдсон и Сун Сун доказали гипотезу Яу–Тянь–Дональдсона: гладкое фановое многообразие имеет калеровскую–эйнштейнову метрику тогда и только тогда, когда оно K-устойчиво, что является чисто алгебро-геометрическим условием. В ситуациях, когда калеровская–эйнштейнова метрика не может существовать, можно изучать мягкие обобщения, включая калеровы метрики с постоянной скалярной кривизной и экстремальные калеровы метрики. Когда калеровская–эйнштейнова метрика может существовать, эти более широкие обобщения автоматически являются калеровскими–эйнштейновыми.

Голоморфная кривая сечения

Отклонение риманова многообразия X от стандартной метрики на евклидовом пространстве измеряется секционной кривизной, которая является действительным числом, связанным с любой вещественной 2-плоскостью в тангентном пространстве X в точке. Например, секционная кривизна стандартной метрики на CPn (для n ≥ 2) изменяется от 1/4 до 1 в каждой точке. Для эрмитова многообразия (например, многообразия Кэлера) голоморфная секционная кривизна означает секционную кривизну, ограниченную комплексными линиями в тангентном пространстве. Это ведет себя проще, поскольку CPn имеет голоморфную секционную кривизну, равную 1 повсюду. С другой стороны, открытый единичный шар в Cn имеет полную кэлерову метрику с голоморфной секционной кривизной, равной −1. (При этой метрике шар также называется комплексным гиперболическим пространством.) Голоморфная секционная кривизна тесно связана со сложной геометрией лежащего в основе комплексного многообразия. Это элементарное следствие леммы Ахлфорса — Шварца, что если X — эрмитово многообразие с эрмитовой метрикой с отрицательной голоморфной секционной кривизной (ограниченной сверху отрицательной константой), то оно является броди-гиперболическим (то есть всякая голоморфная карта X → ℂ постоянна). Если X компактно, то это эквивалентно тому, что многообразие является кобаяши-гиперболическим. С другой стороны, если X — компактное кэлерово многообразие с кэлеровой метрикой с положительной голоморфной секционной кривизной, Ян Сяокуй показал, что X рационально связно. Замечательной особенностью комплексной геометрии является то, что голоморфная секционная кривизна убывает на комплексных подмногообразиях. (То же самое верно и для более общего понятия, голоморфной бисекционной кривизны.) Например, каждое комплексное подмногообразие Cn (с индуцированной метрикой из Cn) имеет голоморфную секционную кривизну ≤ 0. Для голоморфных отображений между эрмитовыми многообразиями голоморфной секционной кривизны недостаточно для контроля целевого члена кривизны, возникающего в оценке второго порядка леммы Шварца. Это послужило мотивацией для рассмотрения вещественной бисекционной кривизны, введенной Сяокуй Яном и Фанян Чжэном. Она также появляется в работах Ман Чуна Ли и Джеффри Стритс под названием комплексный оператор кривизны.

Примеры

Комплексное пространство Cn со стандартной эрмитовой метрикой является многообразием Кэлера. Компактный комплексный тор Cn/Λ (Λ – полная решетка) наследует плоскую метрику от евклидовой метрики на Cn и, следовательно, является компактным многообразием Кэлера. Каждая риманова метрика на ориентированном 2-м многообразии является кэлеровой. (Действительно, его голономическая группа содержится в группе вращений SO(2), которая равна унитарной группе U(1).) В частности, ориентированное риманово 2-многообразие является поверхностью Римана естественным образом; это известно как существование изотермических координат. И наоборот, каждая поверхность Римана является кэлеровой, поскольку кэлерова форма любой эрмитовой метрики замкнута по размерностным причинам. Существует стандартный выбор кэлеровой метрики на комплексном проективном пространстве CPn – метрика Фубини–Студи. Одно из описаний включает в себя унитарную группу U(n+1), группу линейных автоморфизмов Cn+1, сохраняющих стандартную эрмитову форму. Метрика Фубини–Студи – это единственная риманова метрика на CPn (с точностью до положительного множителя), инвариантная относительно действия U(n+1) на CPn. Одним из естественных обобщений CPn служат эрмитовы симметричные пространства компактного типа, такие как грассманианы. Естественная кэлерова метрика на эрмитово-симметричном пространстве компактного типа имеет сечение кривизны ≥ 0. Индуцированная метрика на комплексном подмногообразии многообразия Кэлера является кэлеровой. В частности, любое многообразие Штейна (вложенное в Cn) или гладкое проективное алгебраическое многообразие (вложенное в CPn) является кэлеровым. Это большой класс примеров. Открытый единичный шар B в Cn имеет полную кэлерову метрику, называемую метрикой Бергмана, с голоморфной сечной кривизной, равной −1. Естественное обобщение шара обеспечивается эрмитовыми симметричными пространствами некомпактного типа, такими как верхняя полуплоскость Зигеля. Каждое эрмитово-симметричное пространство X некомпактного типа изоморфно ограниченной области в некотором Cn, а метрика Бергмана X является полной кэлеровой метрикой с сечной кривизной ≤ 0. Каждая поверхность K3 является кэлеровой (по Сиу).