Кіріспе
Векторлық есептеу ұғымы
Математикада, әсіресе векторлық есептеу және дифференциалдық топологияда, жабық форма – сыртқы туындысы нөлге тең дифференциалдық форма α (dα = 0), ал толық форма – басқа дифференциалдық форманың сыртқы туындысы болып табылатын дифференциалдық форма α, яғни β. Осылайша, толық форма d кескінінде жатады, ал жабық форма d ядросында болады.
In mathematics, especially vector calculus and differential topology, a closed form is a differential form α whose exterior derivative is zero (1=dα = 0), and an exact form is a differential form, α, that is the exterior derivative of another differential form β. Thus, an exact form is in the image of d, and a closed form is in the kernel of d.
Толық форма α үшін α = dβ, мұнда β – α-дан бір дәрежесі төмен дифференциалдық форма. β формасы α үшін «потенциалдық форма» немесе «примитив» деп аталады. Жабық форманың сыртқы туындысы нөлге тең болғандықтан, β бірегей емес, α-дан бір дәрежесі төмен кез келген жабық форманы қосу арқылы өзгеруі мүмкін. Өйткені, кез келген толық форма міндетті түрде жабық болады. Кез келген жабық форманың толық болуы зертенедін доменнің топологиясына байланысты. Қысылатын доменде кез келген жабық форма Поанкаре леммасы бойынша толық болады. Одан да жалпы сұрақтар дифференциалдық әдістерді қолдана отырып, таза топологиялық ақпарат алуға мүмкіндік беретін де Рам когомологиясының пәні болып табылады.
Мысалдар
Жабық, бірақ дәл емес форманың қарапайым мысалы – тесілген жазықтықта аргументтің туындысынан алынған 1-форма. Өйткені, бұл шын мәнінде функция емес (келесі абзацты қараңыз), ол дәл форма емес. Дегенмен, оның туындысы нөлге тең, сондықтан ол жабық. Аргумент тек толық санға дейін ғана анықталатынын ескеріңіз, өйткені бір нүктеге әртүрлі аргументтер тағайындалуы мүмкін, , және т.б. Біз аргументтерді жергілікті түрде, бірақ жаһандық түрде емес, сәйкестендіре аламыз. Бұл, егер біз нөлдік нүктеден сағат тіліне қарсы бағытта және кері циклды жүргізсек, аргумент көбейеді. Жалпы, аргумент сағат тіліне қарсы бағыттағы цикл бойында өзгеріп отырады. Аргумент техникалық тұрғыдан функция болмаса да, әртүрлі жергілікті анықтамалар бір нүктеде бір-бірінен тұрақты шамалармен ерекшеленеді. Нүктенің туындысы тек жергілікті деректерді пайдаланады, ал тұрақтыға дейін ерекшеленетін функциялардың туындысы бірдей болғандықтан, аргументтің жақсы анықталған жаһандық туындысы бар. Қорытындысы, бұл – нақты анықталмаған функцияның туындысы емес 1-форма. Анық айтқанда:
over a counter clockwise oriented loop
Even though the argument is not technically a function, the different local definitions of at a point differ from one another by constants. Since the derivative at only uses local data, and since functions that differ by a constant have the same derivative, the argument has a globally well defined derivative "". The upshot is that is a one form on that is not actually the derivative of any well defined function We say that is not exact. Explicitly, is given as:
which by inspection has derivative zero. Because has vanishing derivative, we say that it is closed. This form generates the de Rham cohomology group meaning that any closed form is the sum of an exact form and a multiple of : , where accounts for a non trivial contour integral around the origin, which is the only obstruction to a closed form on the punctured plane (locally the derivative of a potential function) being the derivative of a globally defined function.
тексеру арқылы туындысы нөлге тең екені көрінеді. Туындысы нөлге тең болғандықтан, оны жабық деп айтамыз. Бұл форма де Рам когомологиялық тобын тудырады, яғни кез келген жабық форма – дәл форманың және : қосындысы, мұнда нөлдік нүкте маңындағы тривиальды емес контурлы интеграл ескеріледі, бұл тесілген жазықтықтағы жабық форманың жалғыз кедергісі (потенциалдық функцияның жергілікті туындысы) – жалпы анықталған функцияның туындысы.
over a counter clockwise oriented loop
Even though the argument is not technically a function, the different local definitions of at a point differ from one another by constants. Since the derivative at only uses local data, and since functions that differ by a constant have the same derivative, the argument has a globally well defined derivative "". The upshot is that is a one form on that is not actually the derivative of any well defined function We say that is not exact. Explicitly, is given as:
which by inspection has derivative zero. Because has vanishing derivative, we say that it is closed. This form generates the de Rham cohomology group meaning that any closed form is the sum of an exact form and a multiple of : , where accounts for a non trivial contour integral around the origin, which is the only obstruction to a closed form on the punctured plane (locally the derivative of a potential function) being the derivative of a globally defined function.
Векторлық өрістің аналогиясы
Риманн көптүрлілігінде немесе жалпы псевдо-Риманн көптүрлігінде k формалар метрика арқылы дуалдық арқылы k векторлық өрістерге сәйкес келеді, сондықтан жабық немесе нақты формаға сәйкес келетін векторлық өріс түсінігі бар. 3 өлшемде нақты векторлық өріс (1 форма ретінде қарастырылады) консервативті векторлық өріс деп аталады, яғни ол 0 форманың (тегіс скалярлық өріс) туындысы (градиенті) болып табылады, бұл скалярлық потенциал деп аталады. Жабық векторлық өріс (1 форма ретінде қарастырылады) – туындысы (айналуы) нөлге тең болып, ирротациялық векторлық өріс деп аталады. Егер векторлық өрісті 2 форма ретінде қарастырсақ, жабық векторлық өріс – туындысы (дивергенциясы) нөлге тең болып, сығылмайтын ағын (кейде соленоидтық векторлық өріс) деп аталады. Сығылмайтын термині қолданылу себебі – нөлдік емес дивергенция сұйықтыққа ұқсас көздер мен шұңғырлардың болуын көрсетеді. Консервативті және сығылмайтын векторлық өрістердің ұғымдары n өлшемге жалпыланады, себебі градиент және дивергенция n өлшемге жалпыланады; айналу тек үш өлшемде анықталады, сондықтан ирротациялық векторлық өріс ұғымы осылай жалпыланбайды.
Понкаре леммасы
Поинкаре леммасы былай глайды: егер B – Rn-дегі ашық шар болса, онда B-де анықталған кез келген жабық p формасы ω, 1 ≤ p ≤ n шарты орындалатын кез келген бүтін сан үшін дәл болады. Көбірек жалпылай келгенде, леммаға сәйкес, жиырылатын көптүліктің ашық ішкі жиынында (мысалы, ), p > 0 жабық p формасы дәл болады.
More generally, the lemma states that on a contractible open subset of a manifold (e. g., ), a closed p form, p > 0, is exact.
Кохомология ретінде пішімдеу
Екі жабық форманың айырмасы дәл форма болған жағдайда, олар бір-біріне кохомолог деп аталады. Яғни, егер ζ және η жабық формалар болса, және дұрыс β табылып,
теңдігі орындалса, онда ζ және η бір-біріне кохомолог екендігі айтылады. Дәл формалар кейде нөлге кохомолог деп те аталады. Белгілі бір формаға кохомолог болатын барлық формалар жиынтығы де Рам кохомология класы деп аталады; мұндай кластарды зерттеу кохомология деп аталады. d дәрежесін 1-ге арттыратындықтан, 0-форма (тегіс функция) дәл бола ма деп сұраудың мағынасы шамалы, бірақ топологиялық мәліметтер тек нөлдік функцияны "дәл" деп атауға болатынын көрсетеді. Кохомология кластары жергілікті тұрақты функциялармен сәйкестендіріледі. Поанкаре леммасының дәлелінде қолданылғанға ұқсас қысқарту гомотопияларын қолдану арқылы де Рам кохомологиясы гомотопия инвариант екенін көрсетуге болады.