Введение
Концепция векторного исчисления
В математике, особенно в векторном исчислении и дифференциальной топологии, замкнутая форма — это дифференциальная форма α, внешняя производная которой равна нулю (dα = 0), а точная форма — это дифференциальная форма α, являющаяся внешней производной другой дифференциальной формы β. Таким образом, точная форма находится в образе отображения d, а замкнутая форма — в ядре отображения d.
In mathematics, especially vector calculus and differential topology, a closed form is a differential form α whose exterior derivative is zero (1=dα = 0), and an exact form is a differential form, α, that is the exterior derivative of another differential form β. Thus, an exact form is in the image of d, and a closed form is in the kernel of d.
Для точной формы α выполняется α = dβ для некоторой дифференциальной формы β степени на единицу меньше, чем у α. Форма β называется потенциальной формой или примитивной для α. Поскольку внешняя производная замкнутой формы равна нулю, β не является единственной, но может быть изменена добавлением любой замкнутой формы степени на единицу меньше, чем у α. Следовательно, каждая точная форма обязательно замкнута. Вопрос о том, является ли каждая замкнутая форма точной, зависит от топологии рассматриваемой области. На стягиваемой области каждая замкнутая форма точна согласно лемме Пуанкаре. Более общие вопросы такого рода на произвольном дифференцируемом многообразии являются предметом когомологий де Рама, которые позволяют получать чисто топологическую информацию с помощью дифференциальных методов.
Примеры
Простой пример формы, которая замкнута, но не точна, — это 1-форма, заданная производной аргумента на проколотой плоскости. Поскольку не является функцией (см. следующий абзац), она не является точной формой. Однако у неё есть нулевая производная, и поэтому она замкнута. Обратите внимание, что аргумент определён только с точностью до целого кратного числа , поскольку одной точке можно присвоить разные аргументы , , и т.д. Мы можем присваивать аргументы локально согласованным образом в окрестности точки , но не глобально согласованным образом. Это происходит потому, что если мы проследим петлю из точки против часовой стрелки вокруг начала координат и вернёмся в , аргумент увеличится на . В общем случае, аргумент изменяется на при обходе петли, ориентированной против часовой стрелки.
Даже если аргумент технически не является функцией, различные локальные определения в точке отличаются друг от друга на константы. Поскольку производная в использует только локальные данные, а функции, отличающиеся на константу, имеют одинаковую производную, аргумент имеет глобально определённую производную "". Итог: это 1-форма на , которая на самом деле не является производной какой-либо однозначно определённой функции. Мы говорим, что она не является точной. Явно она задаётся как:
Even though the argument is not technically a function, the different local definitions of at a point differ from one another by constants. Since the derivative at only uses local data, and since functions that differ by a constant have the same derivative, the argument has a globally well defined derivative "". The upshot is that is a one form on that is not actually the derivative of any well defined function We say that is not exact. Explicitly, is given as:
которая, очевидно, имеет нулевую производную. Поскольку у неё нулевая производная, мы говорим, что она замкнута. Эта форма порождает группу когомологий де Рама , что означает, что любая замкнутая форма является суммой точной формы и кратной : , где учитывается нетривиальный контурный интеграл вокруг начала координат, который является единственным препятствием для того, чтобы замкнутая форма на проколотой плоскости (локально производная потенциальной функции) была производной глобально определённой функции.
Аналогии векторных полей
На римановом многообразии, или в более общем случае, на псевдоримановом многообразии, k-формам соответствуют k векторных полей (посредством двойственности через метрику), поэтому существует понятие векторного поля, соответствующего замкнутой или точной форме. В трех измерениях точное векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) называется потенциальным векторным полем, что означает, что оно является производной (градиентом) 0-формы (гладкого скалярного поля), называемой скалярным потенциалом. Замкнутое векторное поле (рассматриваемое как 1-форма) – это такое, чья производная (ротор) обращается в нуль, и называется ирротационным векторным полем. Если же рассматривать векторное поле как 2-форму, то замкнутое векторное поле – это такое, чья производная (дивергенция) обращается в нуль, и называется несжимаемым потоком (иногда соленоидальным векторным полем). Термин "несжимаемый" используется, поскольку ненулевая дивергенция соответствует наличию источников и стоков по аналогии с жидкостью. Понятия потенциальных и несжимаемых векторных полей обобщаются на n измерений, поскольку градиент и дивергенция обобщаются на n измерений; ротор определен только в трех измерениях, поэтому понятие ирротационного векторного поля не обобщается таким образом.
Лемма Понкаре
Лемма Пуанкаре утверждает, что если B — открытый шар в Rn, то любая замкнутая p-форма ω, определенная на B, является точной для любого целого числа p, удовлетворяющего условию 1 ≤ p ≤ n.
В более общем случае, лемма утверждает, что на стягиваемом открытом подмножестве многообразия (например, ) любая замкнутая p-форма, где p > 0, является точной.
Формулировка как кохомология
Когда разность двух замкнутых форм является точной формой, говорят, что они кохомологичны друг другу. То есть, если ζ и η – замкнутые формы, и существует такая β, что
then one says that ζ and η are cohomologous to each other. Exact forms are sometimes said to be cohomologous to zero. The set of all forms cohomologous to a given form (and thus to each other) is called a de Rham cohomology class; the general study of such classes is known as cohomology. It makes no real sense to ask whether a 0 form (smooth function) is exact, since d increases degree by 1; but the clues from topology suggest that only the zero function should be called "exact". The cohomology classes are identified with locally constant functions. Using contracting homotopies similar to the one used in the proof of the Poincaré lemma, it can be shown that de Rham cohomology is homotopy invariant.
dβ = ζ – η,
then one says that ζ and η are cohomologous to each other. Exact forms are sometimes said to be cohomologous to zero. The set of all forms cohomologous to a given form (and thus to each other) is called a de Rham cohomology class; the general study of such classes is known as cohomology. It makes no real sense to ask whether a 0 form (smooth function) is exact, since d increases degree by 1; but the clues from topology suggest that only the zero function should be called "exact". The cohomology classes are identified with locally constant functions. Using contracting homotopies similar to the one used in the proof of the Poincaré lemma, it can be shown that de Rham cohomology is homotopy invariant.
то ζ и η кохомологичны друг другу. Точные формы иногда называют кохомологичными нулю. Множество всех форм, кохомологичных данной форме (и, следовательно, друг другу), называется классом кохомологий де Рама; общее изучение таких классов известно как кохомология. Не имеет особого смысла спрашивать, является ли 0-форма (гладкая функция) точной, поскольку дифференциал d повышает степень на 1; однако соображения топологии указывают на то, что только нулевая функция должна называться "точной". Классы кохомологий отождествляются с локально постоянными функциями. С помощью сокращающихся гомотопий, аналогичных используемой в доказательстве леммы Пуанкаре, можно показать, что кохомология де Рама является гомотопически инвариантной.
then one says that ζ and η are cohomologous to each other. Exact forms are sometimes said to be cohomologous to zero. The set of all forms cohomologous to a given form (and thus to each other) is called a de Rham cohomology class; the general study of such classes is known as cohomology. It makes no real sense to ask whether a 0 form (smooth function) is exact, since d increases degree by 1; but the clues from topology suggest that only the zero function should be called "exact". The cohomology classes are identified with locally constant functions. Using contracting homotopies similar to the one used in the proof of the Poincaré lemma, it can be shown that de Rham cohomology is homotopy invariant.