Кіріспе
Көп мәнді функцияның бір тармағы бойынша алынған мәндер, осылайша функция бірмәнді болады. Бұрыс интегралдарды сипаттауда "негізгі мән" терминін қолдану. Математикада, әсіресе комплекс сараптауда, көп мәнді функцияның негізгі мәндері – бұл функцияның бір таңдалған тармағы бойынша алынған мәндер, осылайша функция бірмәнді болады. Оң нақты санның квадрат түбірін алу қарапайым мысал болып табылады. Мысалы, 4-тің екі квадрат түбірі бар: 2 және -2; олардың ішінде оң түбір, 2, негізгі түбір деп есептеледі және осылай белгіленеді.
the use of the term principal value in describing improper integrals
In mathematics, specifically complex analysis, the principal values of a multivalued function are the values along one chosen branch of that function, so that it is single valued. A simple case arises in taking the square root of a positive real number. For example, 4 has two square roots: 2 and −2; of these the positive root, 2, is considered the principal root and is denoted as
Мотивация
Комплексті логарифм функциясы log z қарастырылсын. Ол w комплекстік саны ретінде анықталады, осындай
Now, for example, say we wish to find log i. This means we want to solve
for The value is a solution. However, there are other solutions, which is evidenced by considering the position of i in the complex plane and in particular its argument We can rotate counterclockwise radians from 1 to reach i initially, but if we rotate further another we reach i again. So, we can conclude that is also a solution for log i. It becomes clear that we can add any multiple of to our initial solution to obtain all values for log i. But this has a consequence that may be surprising in comparison of real valued functions: log i does not have one definite value. For log z, we have
for an integer k, where Arg z is the (principal) argument of z defined to lie in the interval Each value of k determines what is known as a branch (or sheet), a single valued component of the multiple valued log function. When the focus is on a single branch, sometimes a branch cut is used; in this case removing the non positive real numbers from the domain of the function and eliminating as a possible value for Arg z. With this branch cut, the single branch function is continuous and analytic everywhere in its domain. The branch corresponding to 1=k = 0 is known as the principal branch, and along this branch, the values the function takes are known as the principal values.
Енді, мысалы, біз log i табуды қалаймыз делік. Бұл біздің осы теңдеуді шешуімізді білдіреді. мәні – бір шешім. Алайда, басқа шешімдер де бар, бұл i-нің комплекс жазықтықтағы орны және оның аргументін қарастыру арқылы көрінеді. Біз 1-ден сағат тіліне қарсы π радианға айналдырып, бастапқы i-ге жете аламыз, бірақ егер тағы да π радианға айналдырсақ, қайтадан i-ге жетеміз. Сондықтан, дегені де log i үшін шешім деп қорытындылай аламыз. Осы бастапқы шешімге 2πk-ның кез келген еселігін қосу арқылы log i-нің барлық мәндерін алуға болады. Бірақ бұл нақты мәнді функциялармен салыстырғанда таңқаларлық нәрсе: log i-нің жалғыз анықталған мәні жоқ. Log z үшін:
Now, for example, say we wish to find log i. This means we want to solve
for The value is a solution. However, there are other solutions, which is evidenced by considering the position of i in the complex plane and in particular its argument We can rotate counterclockwise radians from 1 to reach i initially, but if we rotate further another we reach i again. So, we can conclude that is also a solution for log i. It becomes clear that we can add any multiple of to our initial solution to obtain all values for log i. But this has a consequence that may be surprising in comparison of real valued functions: log i does not have one definite value. For log z, we have
for an integer k, where Arg z is the (principal) argument of z defined to lie in the interval Each value of k determines what is known as a branch (or sheet), a single valued component of the multiple valued log function. When the focus is on a single branch, sometimes a branch cut is used; in this case removing the non positive real numbers from the domain of the function and eliminating as a possible value for Arg z. With this branch cut, the single branch function is continuous and analytic everywhere in its domain. The branch corresponding to 1=k = 0 is known as the principal branch, and along this branch, the values the function takes are known as the principal values.
мұнда k – бүтін сан, ал Arg z – z-ның (негізгі) аргументі, ол [-π, π] интервалында жатады. k-ның әрбір мәні тармақ (немесе жапырақ) деп аталатын, көп мәнді логарифм функциясының бірмәнді компонентін анықтайды. Назар бір тармаққа аударғанда, кейде тармақ кесігі қолданылады; бұл жағдайда функцияның доменінен оң емес нақты сандарды алып тастау және Arg z үшін мүмкін мән ретінде нөлді жою. Осы тармақ кесігімен бір тармақты функция өз доменінің барлық жерінде үздіксіз және аналитикалық болады. k = 0-ге сәйкес келетін тармақ негізгі тармақ деп аталады, ал осы тармақта функцияның қабылдайтын мәндері негізгі мәндер деп аталады.
Now, for example, say we wish to find log i. This means we want to solve
for The value is a solution. However, there are other solutions, which is evidenced by considering the position of i in the complex plane and in particular its argument We can rotate counterclockwise radians from 1 to reach i initially, but if we rotate further another we reach i again. So, we can conclude that is also a solution for log i. It becomes clear that we can add any multiple of to our initial solution to obtain all values for log i. But this has a consequence that may be surprising in comparison of real valued functions: log i does not have one definite value. For log z, we have
for an integer k, where Arg z is the (principal) argument of z defined to lie in the interval Each value of k determines what is known as a branch (or sheet), a single valued component of the multiple valued log function. When the focus is on a single branch, sometimes a branch cut is used; in this case removing the non positive real numbers from the domain of the function and eliminating as a possible value for Arg z. With this branch cut, the single branch function is continuous and analytic everywhere in its domain. The branch corresponding to 1=k = 0 is known as the principal branch, and along this branch, the values the function takes are known as the principal values.
Стандартты функциялардың негізгі мәндері
Күрделі мәнді элементар функциялар кейбір салаларда көп мәнді болуы мүмкін. Мұндай функциялардың негізгі мәнін функцияны қарапайым функцияларға жіктеу арқылы табуға болады, осылайша қарапайым функциялардың негізгі мәнін анықтау жеңілдеді.
Логарифмдік функция
Біз жоғарыда логарифмдік функцияны қарастырдық, яғни, енді, arg z функциясы көпмәнді. Кешенді санның аргументі көбінесе (ашық) және (жабық) аралығында деп анықталады, сондықтан біз оны аргументтің бас мәні деп қабылдаймыз және осы тармақта аргумент функциясын Arg z (бас әріпті A) деп жазамыз. arg z орнына Arg z қолдану арқылы логарифмнің бас мәнін аламыз және жазамыз.
Now, arg z is intrinsically multivalued. One often defines the argument of some complex number to be between (exclusive) and (inclusive), so we take this to be the principal value of the argument, and we write the argument function on this branch Arg z (with the leading capital A). Using Arg z instead of arg z, we obtain the principal value of the logarithm, and we write
Кері тригонометриялық және кері гиперболалық функциялар
Кері тригонометриялық функциялар (арксин, арккос, арктан және т.б.) және кері гиперболалық функциялар (arsinh, arcosh, artanh және т.б.) логарифмдер тұрғысынан анықталады, ал олардың басты мәндері логарифмнің басты мәндері арқылы анықталады.