Введение

Значения вдоль одной ветви многозначной функции, обеспечивающие её однозначность, а также использование термина "основное значение" при описании несобственных интегралов. В математике, в частности в комплексном анализе, основными значениями многозначной функции являются значения, выбранные вдоль одной из её ветвей, чтобы функция стала однозначной. Простой пример возникает при извлечении квадратного корня из положительного действительного числа. Например, число 4 имеет два квадратных корня: 2 и −2; из них положительный корень, 2, считается основным и обозначается как…

Мотивация

Рассмотрим комплексную логарифмическую функцию log z. Она определяется как комплексное число w такое, что

Теперь, например, предположим, мы хотим найти log i. Это означает, что мы хотим решить уравнение

Для этого значение является решением. Однако существуют и другие решения, что видно из рассмотрения положения i на комплексной плоскости и, в частности, его аргумента. Мы можем повернуться против часовой стрелки на радиан от 1 до i, но если мы повернемся еще на радиан, мы снова достигнем i. Таким образом, мы можем заключить, что также является решением для log i. Становится ясно, что мы можем добавить любое кратное к нашему исходному решению, чтобы получить все значения для log i. Но это имеет следствие, которое может быть неожиданным по сравнению с функциями, принимающими действительные значения: log i не имеет единственного определенного значения. Для log z имеем

где k – целое число, а Arg z – (главный) аргумент z, определяемый как лежащий в интервале. Каждое значение k определяет так называемую ветвь (или лист) – однозначный компонент многозначной логарифмической функции. Когда рассматривается только одна ветвь, иногда используется разрез ветви, то есть исключаются неположительные действительные числа из области определения функции, что устраняет как возможное значение для Arg z. При таком разрезе ветви функция на одной ветви непрерывна и аналитична во всей своей области определения. Ветвь, соответствующая k = 0, называется главной ветвью, а значения, которые принимает функция на этой ветви, называются главными значениями.

Основные значения стандартных функций

Комплексные элементарные функции могут быть многозначными на некоторых областях. Основное значение некоторых из этих функций можно получить, разложив функцию на более простые, для которых основное значение легко определить.

Логарифмическая функция

Мы рассмотрели логарифмическую функцию выше, то есть,

Аргумент комплексного числа, arg z, по своей природе является многозначной функцией. Часто аргумент комплексного числа определяют в интервале от -π (не включая) до π (включая), и тогда это считается главным значением аргумента. Мы обозначаем функцию аргумента на этой ветви как Arg z (с заглавной буквы A). Используя Arg z вместо arg z, мы получаем главное значение логарифма, которое записывается как:

Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции

Обратные тригонометрические функции (арксинус, арккосинус, арктангенс и т. д.) и обратные гиперболические функции (arsinh, arcosh, artanh и т. д.) могут быть определены через логарифмы, а их главные значения – через главные значения логарифма.