Введение
Поле (математика), порожденное квадратным корнем из целого числа. В алгебраической теории чисел, квадратное поле — это алгебраическое числовое поле степени два над ℚ, рациональными числами. Каждое такое квадратное поле имеет вид ℚ(√d), где d — (единственно определенное) целое число, не являющееся полным квадратом и отличное от 0. Если d > 0, соответствующее квадратное поле называется вещественным квадратным полем, а если d < 0, оно называется мнимым квадратным полем или комплексным квадратным полем, в зависимости от того, является ли оно подполем поля вещественных чисел. Квадратные поля были изучены очень глубоко, изначально как часть теории бинарных квадратичных форм. Остаются некоторые нерешенные проблемы. Особое значение имеет проблема класса чисел.
In algebraic number theory, a quadratic field is an algebraic number field of degree two over , the rational numbers. Every such quadratic field is some where is a (uniquely defined) square free integer different from and If , the corresponding quadratic field is called a real quadratic field, and, if , it is called an imaginary quadratic field or a complex quadratic field, corresponding to whether or not it is a subfield of the field of the real numbers. Quadratic fields have been studied in great depth, initially as part of the theory of binary quadratic forms. There remain some unsolved problems. The class number problem is particularly important.
Дискриминация
Для ненулевого целого числа, свободного от квадратов, дискриминанта квадратичного поля равен , если конгруэнтен модулю , и равен в противном случае. Например, если , то это поле гауссовых рациональных чисел и дискриминанта равна . Причина такого различия заключается в том, что кольцо целых чисел поля генерируется в первом случае, а во втором случае. Множество дискриминант квадратичных полей совпадает с множеством фундаментальных дискриминант.
Факторизация простых чисел в идеалы
Любое простое число порождает идеал в кольце целых чисел квадратичного поля. В соответствии с общей теорией расщепления простых идеалов в расширениях Галуа, это может быть:
is inert is a prime ideal. The quotient ring is the finite field with elements: splits is a product of two distinct prime ideals of The quotient ring is the product is ramified is the square of a prime ideal of The quotient ring contains non zero nilpotent elements. The third case happens if and only if divides the discriminant The first and second cases occur when the Kronecker symbol equals and , respectively. For example, if is an odd prime not dividing , then splits if and only if is congruent to a square modulo The first two cases are, in a certain sense, equally likely to occur as runs through the primes—see Chebotarev density theorem. The law of quadratic reciprocity implies that the splitting behaviour of a prime in a quadratic field depends only on modulo , where is the field discriminant.
инертным – является простым идеалом. Факторкольцо – это конечное поле с элементами;
is inert is a prime ideal. The quotient ring is the finite field with elements: splits is a product of two distinct prime ideals of The quotient ring is the product is ramified is the square of a prime ideal of The quotient ring contains non zero nilpotent elements. The third case happens if and only if divides the discriminant The first and second cases occur when the Kronecker symbol equals and , respectively. For example, if is an odd prime not dividing , then splits if and only if is congruent to a square modulo The first two cases are, in a certain sense, equally likely to occur as runs through the primes—see Chebotarev density theorem. The law of quadratic reciprocity implies that the splitting behaviour of a prime in a quadratic field depends only on modulo , where is the field discriminant.
расщепляющимся – является произведением двух различных простых идеалов ;
is inert is a prime ideal. The quotient ring is the finite field with elements: splits is a product of two distinct prime ideals of The quotient ring is the product is ramified is the square of a prime ideal of The quotient ring contains non zero nilpotent elements. The third case happens if and only if divides the discriminant The first and second cases occur when the Kronecker symbol equals and , respectively. For example, if is an odd prime not dividing , then splits if and only if is congruent to a square modulo The first two cases are, in a certain sense, equally likely to occur as runs through the primes—see Chebotarev density theorem. The law of quadratic reciprocity implies that the splitting behaviour of a prime in a quadratic field depends only on modulo , where is the field discriminant.
разветвленным – является квадратом простого идеала . Факторкольцо содержит ненулевые нильпотентные элементы. Третий случай происходит тогда и только тогда, когда делит дискриминант. Первый и второй случаи возникают, когда символ Кронекера равен и , соответственно. Например, если – нечетное простое число, не делящее , то расщепляется тогда и только тогда, когда сравнимо с квадратом по модулю . Первые два случая, в определенном смысле, равновероятны при пробеге по простым числам – см. теорему о плотности Чеботарева. Закон квадратичной взаимности подразумевает, что поведение расщепления простого числа в квадратичном поле зависит только от по модулю , где – дискриминант поля.
is inert is a prime ideal. The quotient ring is the finite field with elements: splits is a product of two distinct prime ideals of The quotient ring is the product is ramified is the square of a prime ideal of The quotient ring contains non zero nilpotent elements. The third case happens if and only if divides the discriminant The first and second cases occur when the Kronecker symbol equals and , respectively. For example, if is an odd prime not dividing , then splits if and only if is congruent to a square modulo The first two cases are, in a certain sense, equally likely to occur as runs through the primes—see Chebotarev density theorem. The law of quadratic reciprocity implies that the splitting behaviour of a prime in a quadratic field depends only on modulo , where is the field discriminant.
Квадратное подполе простейшего циклотомического поля
Классическим примером построения квадратичного поля является выбор единственного квадратичного поля внутри циклотомического поля, порожденного примитивным корнем единицы степени *p*, где *p* – нечетное простое число. Уникальность является следствием теории Галуа, а именно, существования единственной подгруппы индекса *p* в группе Галуа. Как объяснено в разделе о гауссовском периоде, дискриминант этого квадратичного поля равен *p* при *p* ≡ 1 (mod 4) и *–p* при *p* ≡ 3 (mod 4). Это также можно предсказать, используя теорию достаточного ветвления. Действительно, *p* – единственное простое число, ветвящееся в циклотомическом поле, следовательно, оно является единственным простым числом, которое может делить дискриминант квадратичного поля. Это исключает "другие" возможные значения дискриминанта *p* и *–p* в соответствующих случаях.
Другие циклотомные поля
Если рассматривать другие циклотомические поля, то их группы Галуа содержат дополнительную крутильную компоненту, и, следовательно, они содержат как минимум три квадратичных поля. В общем случае, квадратичное поле с дискриминантом поля можно получить как подполе циклотомического поля корней единицы степени n. Это отражает тот факт, что проводник квадратичного поля равен абсолютной величине его дискриминанта, что является частным случаем формулы дискриминанта проводника.
Порядок полей квадратных чисел малого дискриминанта
В следующей таблице показаны некоторые порядки с малым дискриминантом квадратичных полей. Максимальный порядок алгебраического поля чисел – это его кольцо целых чисел, а дискриминант максимального порядка – дискриминант поля. Дискриминант немаксимального порядка равен произведению дискриминанта соответствующего максимального порядка на квадрат детерминанта матрицы, выражающей базис немаксимального порядка через базис максимального порядка. Все эти дискриминанты могут быть определены с помощью формулы. Для реальных квадратичных целочисленных колец число классов идеалов, которое измеряет нарушение единственности разложения на множители, приведено в OEIS A003649; для мнимого случая они приведены в OEIS A000924.
For real quadratic integer rings, the ideal class number, which measures the failure of unique factorization, is given in OEIS A003649; for the imaginary case, they are given in OEIS A000924. Order Discriminant Class number Units Comments Ideal classes , Principal ideal domain, not Euclidean Non maximal order Ideal classes , Non maximal order Euclidean Euclidean Kleinian integers (cyclic of order )Gaussian integers Eisenstein integers Class group non cyclic: (norm ) (norm ) (norm ) (norm ) (norm ) (norm )Non maximal order
Some of these examples are listed in Artin, Algebra (2nd ed. ), §13.8.
Порядок Дискриминант Число классов Единицы Комментарии Идеальные классы , Основная идеальная область, неевклидова Немаксимальный порядок Идеальные классы , Немаксимальный порядок Евклидово Евклидово Клейновы целые числа (циклического порядка) Гауссовы целые числа Целые числа Эйзенштейна Классовая группа нециклическая: (норма) (норма) (норма) (норма) (норма) (норма) Немаксимальный порядок
For real quadratic integer rings, the ideal class number, which measures the failure of unique factorization, is given in OEIS A003649; for the imaginary case, they are given in OEIS A000924. Order Discriminant Class number Units Comments Ideal classes , Principal ideal domain, not Euclidean Non maximal order Ideal classes , Non maximal order Euclidean Euclidean Kleinian integers (cyclic of order )Gaussian integers Eisenstein integers Class group non cyclic: (norm ) (norm ) (norm ) (norm ) (norm ) (norm )Non maximal order
Some of these examples are listed in Artin, Algebra (2nd ed. ), §13.8.
Некоторые из этих примеров перечислены в Artin, Algebra (2nd ed.), §13.8.
For real quadratic integer rings, the ideal class number, which measures the failure of unique factorization, is given in OEIS A003649; for the imaginary case, they are given in OEIS A000924. Order Discriminant Class number Units Comments Ideal classes , Principal ideal domain, not Euclidean Non maximal order Ideal classes , Non maximal order Euclidean Euclidean Kleinian integers (cyclic of order )Gaussian integers Eisenstein integers Class group non cyclic: (norm ) (norm ) (norm ) (norm ) (norm ) (norm )Non maximal order
Some of these examples are listed in Artin, Algebra (2nd ed. ), §13.8.