Введение

Типы специальных математических функций

В математике верхняя и нижняя неполные гамма-функции — это типы специальных функций, которые возникают как решения различных математических задач, таких как определенные интегралы. Их названия происходят от их интегральных определений, которые определяются аналогично гамма-функции, но с другими, или "неполными" пределами интегрирования. Гамма-функция определяется как интеграл от нуля до бесконечности. Это противопоставляется нижней неполной гамма-функции, которая определяется как интеграл от нуля до переменного верхнего предела. Аналогично, верхняя неполная гамма-функция определяется как интеграл от переменного нижнего предела до бесконечности.

Продолжение к сложным значениям

Нижняя неполная гамма-функция и верхняя неполная гамма-функция, определённые выше для вещественных положительных s и x, могут быть продолжены на голоморфные функции относительно как x, так и s, определённые для почти всех комбинаций комплексных x и s. Комплексный анализ показывает, как свойства вещественных неполных гамма-функций переносятся на их голоморфные аналоги.

Секторы

Секторы в комплексной плоскости, имеющие вершину в z = 0, часто оказываются подходящими областями для комплексных выражений. Сектор D состоит из всех комплексных чисел z, удовлетворяющих условиям z ≠ 0 и α − δ < arg z < α + δ, где α – некоторое число и 0 < δ ≤ π. Часто α можно выбирать произвольно и тогда оно не указывается. Если δ не задано, то предполагается, что δ стремится к π, и сектор фактически является всей комплексной плоскостью, за исключением полупрямой, начинающейся в z = 0 и направленной в сторону −α, которая обычно служит разрезом. Примечание: во многих приложениях и текстах α неявно принимается равным 0, что центрирует сектор относительно положительной вещественной оси.

Филиалы

В частности, на любом таком секторе D существует однозначный и голоморфный логарифм, для которого мнимая часть ограничена заданным диапазоном. На основе такого ограниченного логарифма, z^(s) и неполные гамма-функции, в свою очередь, сводятся к однозначным и голоморфным функциям на D (или 'C'×D), называемым ветвями их многозначных аналогов на D. Добавление к α целого кратного 2π приводит к другому набору связанных ветвей на том же множестве D. Однако в рассматриваемом контексте α считается фиксированным, и все рассматриваемые ветви связаны с ним. Если , ветви называются главными, поскольку они совпадают со своими вещественными аналогами на положительной вещественной оси. Примечание: во многих приложениях и текстах формулы справедливы только для главных ветвей.

Внедрение программного обеспечения

Неполные гамма-функции доступны в различных системах компьютерной алгебры. Даже если они недоступны напрямую, значения неполных функций можно вычислить, используя функции, обычно включенные в электронные таблицы (и пакеты компьютерной алгебры). Например, в Excel это можно сделать с помощью гамма-функции в сочетании с функцией гамма-распределения. Нижняя неполная функция: =EXP(GAMMALN(s))*GAMMA.DIST(x;s;1;TRUE). Верхняя неполная функция: =EXP(GAMMALN(s))*(1-GAMMA.DIST(x;s;1;TRUE)). Эти формулы следуют из определения кумулятивной функции распределения гамма-распределения. В Python библиотека Scipy предоставляет реализации неполных гамма-функций под , однако она не поддерживает отрицательные значения для первого аргумента. Функция из библиотеки mpmath поддерживает все комплексные аргументы.