Введение
В математике, в области теории чисел, гауссовский период — это определённый вид суммы корней из единицы. Периоды позволяют осуществлять точные вычисления в циклотомических полях, связанных с теорией Галуа и гармоническим анализом (дискретным преобразованием Фурье). Они являются основой классической теории, называемой циклотомией. Тесно связанной является гауссова сумма — тип экспоненциальной суммы, представляющий собой линейную комбинацию периодов.
Пример
Ситуация проще всего, когда n – простое число p > 2. В этом случае G является циклической группой порядка p − 1 и имеет единственную подгруппу H порядка d для каждого делителя d числа p − 1. Например, можно взять H индекса два. В этом случае H состоит из квадратных вычетов по модулю p. Соответствуя этой подгруппе H, у нас есть гауссова сумма, суммируемая по (p − 1)/2 квадратных вычетов, и другая гауссова сумма P*, суммируемая по (p − 1)/2 квадратных невычетов. Это легко увидеть, поскольку левая часть представляет собой сумму всех примитивных p-х корней из единицы. Мы также знаем из определения следа, что P принадлежит квадратичному расширению Q. Следовательно, как знал Гаусс, P удовлетворяет квадратному уравнению с целыми коэффициентами. Вычисление квадрата суммы P связано с задачей подсчета количества квадратных вычетов между 1 и p − 1, за которыми следуют квадратные вычеты. Решение элементарно (как мы сейчас сказали бы, оно вычисляет локальную дзета-функцию для кривой, являющейся коникой). Имеем (P − P*)² = p или −p, для p = 4m + 1 или p = 4m + 3 соответственно. Это дает нам точную информацию о том, какое квадратичное поле содержится в Q(ζ). (Это также можно получить с помощью аргументов о разветвлении в алгебраической теории чисел; см. Квадратичное поле.) Как в конечном итоге показал Гаусс, для вычисления P − P* следует брать положительный (соответственно, i, умноженное на положительное вещественное число) квадратный корень в обоих случаях. Таким образом, явное значение гауссовой суммы P задается:
summed over (p − 1)/2 quadratic residues, and the other period P* summed over the (p − 1)/2 quadratic non residues. It is easy to see that
since the left hand side adds all the primitive p th roots of 1. We also know, from the trace definition, that P lies in a quadratic extension of Q. Therefore, as Gauss knew, P satisfies a quadratic equation with integer coefficients. Evaluating the square of the sum P is connected with the problem of counting how many quadratic residues between 1 and p − 1 are succeeded by quadratic residues. The solution is elementary (as we would now say, it computes a local zeta function, for a curve that is a conic). One has
(P − P*)2 = p or −p, for p = 4m + 1 or 4m + 3 respectively. This therefore gives us the precise information about which quadratic field lies in Q(ζ). (That could be derived also by ramification arguments in algebraic number theory; see quadratic field.) As Gauss eventually showed, to evaluate P − P*, the correct square root to take is the positive (resp. i times positive real) one, in the two cases. Thus the explicit value of the period P is given by
Отношение гауссовских периодов и гауссовских сумм
Гауссианские периоды связаны с гауссовыми суммами, для которых характер χ тривиален на H. Такой χ принимает одно и то же значение для всех элементов a в фиксированном смежном классе H в G. Например, описанный выше квадратичный символ по модулю p принимает значение 1 для каждого квадратичного вычета и значение 1 для каждого квадратичного невычета. Таким образом, гауссова сумма может быть записана как линейная комбинация гауссианских периодов (с коэффициентами χ(a)); обратное также верно, как следствие соотношений ортогональности для группы (Z/nZ)×. Иными словами, гауссианские периоды и гауссовы суммы являются преобразованиями Фурье друг друга. Гауссианские периоды обычно лежат в меньших полях, поскольку, например, когда n – простое число p, значения χ(a) являются (p − 1)-ми корнями из единицы. С другой стороны, гауссовы суммы обладают более удобными алгебраическими свойствами.