Введение
Чистая математика – это изучение математических понятий независимо от каких-либо приложений вне математики. Эти понятия могут возникать из проблем реального мира, и полученные результаты впоследствии могут оказаться полезными для практических целей, но чистых математиков в первую очередь мотивируют не такие приложения. Скорее, привлекательность объясняется интеллектуальным вызовом и эстетической красотой выведения логических следствий из базовых принципов. Хотя чистая математика существует как область деятельности, по крайней мере, со времен Древней Греции, само понятие было сформулировано примерно в 1900 году, после появления теорий с контринтуитивными свойствами (таких как неевклидовы геометрии и теория бесконечных множеств Кантора) и обнаружения явных парадоксов (например, непрерывных функций, нигде не дифференцируемых, и парадокса Рассела). Это потребовало пересмотра понятия математической строгости и переработки всей математики в соответствии с систематическим использованием аксиоматических методов. Это побудило многих математиков сосредоточиться на математике ради самой себя, то есть на чистой математике. Тем не менее, почти все математические теории оставались мотивированы проблемами, возникающими из реального мира или из менее абстрактных математических теорий. Кроме того, многие математические теории, которые казались исключительно чистой математикой, в конечном итоге нашли применение в практических областях, главным образом в физике и информатике. Ярким ранним примером является доказательство Исаака Ньютона того, что его закон всемирного тяготения влечет за собой движение планет по орбитам, являющимся коническими сечениями – геометрическими кривыми, которые изучались еще в античности Аполлонием. Другой пример – задача факторизации больших целых чисел, лежащая в основе криптосистемы RSA, широко используемой для защиты интернет-коммуникаций. Следовательно, в настоящее время различие между чистой и прикладной математикой представляет собой скорее философскую точку зрения или предпочтение математика, чем строгое разделение в математике.
Pure mathematics is the study of mathematical concepts independently of any application outside mathematics. These concepts may originate in real world concerns, and the results obtained may later turn out to be useful for practical applications, but pure mathematicians are not primarily motivated by such applications. Instead, the appeal is attributed to the intellectual challenge and aesthetic beauty of working out the logical consequences of basic principles. While pure mathematics has existed as an activity since at least ancient Greece, the concept was elaborated upon around the year 1900, after the introduction of theories with counter intuitive properties (such as non Euclidean geometries and Cantor's theory of infinite sets), and the discovery of apparent paradoxes (such as continuous functions that are nowhere differentiable, and Russell's paradox). This introduced the need to renew the concept of mathematical rigor and rewrite all mathematics accordingly, with a systematic use of axiomatic methods. This led many mathematicians to focus on mathematics for its own sake, that is, pure mathematics. Nevertheless, almost all mathematical theories remained motivated by problems coming from the real world or from less abstract mathematical theories. Also, many mathematical theories, which had seemed to be totally pure mathematics, were eventually used in applied areas, mainly physics and computer science. A famous early example is Isaac Newton's demonstration that his law of universal gravitation implied that planets move in orbits that are conic sections, geometrical curves that had been studied in antiquity by Apollonius. Another example is the problem of factoring large integers, which is the basis of the RSA cryptosystem, widely used to secure internet communications. It follows that, presently, the distinction between pure and applied mathematics is more a philosophical point of view or a mathematician's preference rather than a rigid subdivision of mathematics.
Древняя Греция
Древнегреческие математики одними из первых стали проводить различие между чистой и прикладной математикой. Платон способствовал углублению разрыва между "арифметикой", которую мы теперь называем теорией чисел, и "логистикой", которую мы теперь называем арифметикой. Платон считал логистику (арифметику) уместной для торговцев и военачальников, которым "необходимо овладеть искусством счета, иначе они не смогут правильно построить свои войска", а арифметику (теорию чисел) – для философов, "потому что им необходимо возвыситься над миром перемен и постичь истинное бытие". Евклид Александрийский, когда один из его учеников спросил, в чем польза изучения геометрии, велел своему рабу дать ученику три пенса, "поскольку он должен извлечь выгоду из полученных знаний". Греческий математик Аполлоний Пергский был спрошен о практической ценности некоторых теорем из IV книги "Конических сечений", на что он гордо ответил: "Они достойны признания ради самих доказательств, подобно тому, как мы принимаем многие другие вещи в математике именно по этой причине, и никакой другой". И поскольку многие его результаты не находили применения в науке или инженерии его времени, Аполлоний далее утверждал в предисловии к пятой книге "Конических сечений", что эта область знаний – одна из тех, что "кажутся достойными изучения ради самих себя". Изучение высшей математики формирует навыки мышления, взгляды и интеллектуальное понимание, необходимые для решения обычных инженерных задач.
They are worthy of acceptance for the sake of the demonstrations themselves, in the same way as we accept many other things in mathematics for this and for no other reason. And since many of his results were not applicable to the science or engineering of his day, Apollonius further argued in the preface of the fifth book of Conics that the subject is one of those that " seem worthy of study for their own sake." There is a training in habits of thought, points of view, and intellectual comprehension of ordinary engineering problems, which only the study of higher mathematics can give.