Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Угол, образованный внутри окружности
Angle formed in the interior of a circle
В геометрии вписанный угол — это угол, образованный внутри окружности при пересечении двух хорд на окружности. Его также можно определить как угол, опирающийся на окружность двумя заданными точками на окружности. Эквивалентно, вписанный угол определяется двумя хордами окружности, имеющими общую конечную точку. Теорема о вписанных углах связывает величину вписанного угла с величиной центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Теорема о вписанных углах представлена как Предложение 20 в Книге III «Начал» Евклида.
In geometry, an inscribed angle is the angle formed in the interior of a circle when two chords intersect on the circle. It can also be defined as the angle subtended at a point on the circle by two given points on the circle. Equivalently, an inscribed angle is defined by two chords of the circle sharing an endpoint. The inscribed angle theorem relates the measure of an inscribed angle to that of the central angle subtending the same arc. The inscribed angle theorem appears as Proposition 20 on Book 3 of Euclid's Elements.
Заявление
Теорема о вписанных углах утверждает, что величина угла θ, вписанного в окружность, равна половине величины центрального угла 2θ, опирающегося на ту же дугу окружности. Следовательно, угол не изменяется при перемещении его вершины в различные точки на окружности.
The inscribed angle theorem states that an angle θ inscribed in a circle is half of the central angle 2θ that subtends the same arc on the circle. Therefore, the angle does not change as its vertex is moved to different positions on the circle.
Следующее
По аналогичному аргументу, угол между хордой и касательной, проведенной в одной из точек ее пересечения с окружностью, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду. См. также Касательные к окружности.
By a similar argument, the angle between a chord and the tangent line at one of its intersection points equals half of the central angle subtended by the chord. See also Tangent lines to circles.
Приложения
Теорема о вписанных углах используется во многих доказательствах элементарной евклидовой геометрии плоскости. Частным случаем теоремы является теорема Фалеса, утверждающая, что угол, опирающийся на диаметр, всегда равен 90°, то есть является прямым углом. Как следствие этой теоремы, противоположные углы вписанных четырехугольников в сумме дают 180°; и наоборот, любой четырехугольник, для которого это справедливо, можно описать около окружности. Кроме того, теорема о вписанном угле служит основой для ряда теорем, связанных со степенью точки относительно окружности. Также, она позволяет доказать, что при пересечении двух хорд в окружности, произведение длин отрезков этих хорд равно.
The inscribed angle theorem is used in many proofs of elementary Euclidean geometry of the plane. A special case of the theorem is Thales' theorem, which states that the angle subtended by a diameter is always 90°, i. e., a right angle. As a consequence of the theorem, opposite angles of cyclic quadrilaterals sum to 180°; conversely, any quadrilateral for which this is true can be inscribed in a circle. As another example, the inscribed angle theorem is the basis for several theorems related to the power of a point with respect to a circle. Further, it allows one to prove that when two chords intersect in a circle, the products of the lengths of their pieces are equal.