Введение

Математическая операция в исчислении

В математике, в частности в исчислении и комплексном анализе, логарифмическая производная функции f определяется формулой

где – производная f. Интуитивно, это бесконечно малое относительное изменение функции f; то есть, бесконечно малое абсолютное изменение функции f, а именно , нормированное на текущее значение f.

Когда f является функцией f(x) от вещественной переменной x и принимает вещественные, строго положительные значения, это равно производной ln(f), или натуральному логарифму f. Это непосредственно следует из правила цепочки:

В теории Неванлинны важная лемма утверждает, что функция близости логарифмической производной мала по отношению к характеристике Неванлинны исходной функции, например .

Мультипликативная группа

За использованием логарифмической производной лежат два основных факта о GL1, то есть о мультипликативной группе вещественных чисел или другого поля. Дифференциальный оператор инвариантен относительно дилатации (замены X на aX, где a – константа). И дифференциальная форма также инвариантна. Следовательно, для функций F, принимающих значения в GL1, формула является обратным образом инвариантной формы.

Примеры

Экспоненциальный рост и экспоненциальное убывание — это процессы с постоянной логарифмической производной. В математических финансах греческая буква λ представляет собой логарифмическую производную цены опциона по отношению к цене базового актива. В численном анализе число обусловленности представляет собой бесконечно малую относительную погрешность выходных данных при относительной погрешности входных данных и, таким образом, является отношением логарифмических производных.