Константин Каратеодори: Жизнь и вклад греческого математика

Введение

Османский греческий врач
Греческий математик (1873–1950)

Константин Каратеодори (Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή; 13 сентября 1873 – 2 февраля 1950) – греческий математик, большую часть профессиональной карьеры проведший в Германии. Он внес значительный вклад в развитие вещественного и комплексного анализа, вариационного исчисления и теории меры. Он также разработал аксиоматическое обоснование термодинамики. Каратеодори считается одним из величайших математиков своего времени и самым выдающимся греческим математиком со времен античности.

Происхождение

Константин Каратеодори родился в 1873 году в Берлине в семье греков и вырос в Брюсселе. Его отец, Стефанос Каратеодори, юрист, служил османским послом в Бельгии, Санкт-Петербурге и Берлине. Его мать, Деспина, урожденная Петрококкинос, была родом с острова Хиос. Семья Каратеодори, изначально из Боснохори или Выссы, была хорошо известна и уважаема в Константинополе, и её члены занимали множество важных государственных должностей. В 1874–75 годах семья Каратеодори провела время в Константинополе, где жил дед Константина по отцовской линии, пока его отец Стефанос находился в отпуске. Затем, в 1875 году, они переехали в Брюссель, когда Стефанос был назначен туда османским послом. В Брюсселе родилась младшая сестра Константина, Юлия. 1879 год был трагичным для семьи: в этом году умер дед Константина по отцовской линии, но ещё более трагично, что мать Константина, Деспина, скончалась от пневмонии в Каннах. Бабушка Константина по материнской линии взяла на себя заботу о воспитании Константина и Юлии в доме его отца в Бельгии. Они наняли немецкую служанку, которая учила детей говорить по-немецки. К тому времени Константин уже владел французским и греческим языками. В 1881 году Константин начал обучение в частной школе в Вандерстоке. Он покинул её через два года, затем провёл время с отцом в Берлине, а также зимовал на Итальянской Ривьере в 1883–84 и 1884–85 годах. Вернувшись в Брюссель в 1885 году, он посещал гимназию в течение года, где впервые проявил интерес к математике. В 1886 году он поступил в лицей Athénée Royal d'Ixelles и учился там до окончания в 1891 году. Дважды за время обучения в этом лицее Константин получил премию как лучший ученик по математике в Бельгии. После этого Каратеодори начал подготовку к карьере военного инженера. Он учился в École Militaire de Belgique с октября 1891 по май 1895 года, а также в École d'Application с 1893 по 1896 год. В 1897 году разразилась война между Османской империей и Грецией. Это поставило Каратеодори в сложное положение, поскольку он симпатизировал грекам, в то время как его отец служил правительству Османской империи. Будучи обученным инженером, ему предложили работу в британской колониальной службе. Эта работа привела его в Египет, где он участвовал в строительстве плотины Ассиут до апреля 1900 года. В периоды, когда строительные работы приостанавливались из-за наводнений, он изучал математику по учебникам, которые взял с собой, таким как «Cours d'Analyse» Жордана и учебник Салмона по аналитической геометрии конических сечений. Он также посетил пирамиду Хеопса, сделал измерения и опубликовал их в 1901 году. В том же году он опубликовал книгу об Египте, содержащую богатый материал по истории и географии страны.

Constantin Carathéodory was born in 1873 in Berlin to Greek parents and grew up in Brussels. His father Stephanos Karatheodori [tr], a lawyer, served as the Ottoman ambassador to Belgium, St. Petersburg and Berlin. His mother, Despina, née Petrokokkinos, was from the island of Chios. The Carathéodory family, originally from Bosnochori or Vyssa, was well established and respected in Constantinople, and its members held many important governmental positions. The Carathéodory family spent 1874–75 in Constantinople, where Constantin's paternal grandfather lived, while his father Stephanos was on leave. Then in 1875 they went to Brussels when Stephanos was appointed there as Ottoman Ambassador. In Brussels, Constantin's younger sister Julia was born. The year 1879 was a tragic one for the family since Constantin's paternal grandfather died in that year, but much more tragically, Constantin's mother Despina died of pneumonia in Cannes. Constantin's maternal grandmother took on the task of bringing up Constantin and Julia in his father's home in Belgium. They employed a German maid who taught the children to speak German. Constantin was already bilingual in French and Greek by this time. Constantin began his formal schooling at a private school in Vanderstock in 1881. He left after two years and then spent time with his father on a visit to Berlin, and also spent the winters of 1883–84 and 1884–85 on the Italian Riviera. Back in Brussels in 1885 he attended a grammar school for a year where he first began to become interested in mathematics. In 1886, he entered the high school Athénée Royal d'Ixelles and studied there until his graduation in 1891. Twice during his time at this school Constantin won a prize as the best mathematics student in Belgium. At this stage Carathéodory began training as a military engineer. He attended the École Militaire de Belgique from October 1891 to May 1895 and he also studied at the École d'Application from 1893 to 1896. In 1897 a war broke out between the Ottoman Empire and Greece. This put Carathéodory in a difficult position since he sided with the Greeks, yet his father served the government of the Ottoman Empire. Since he was a trained engineer he was offered a job in the British colonial service. This job took him to Egypt where he worked on the construction of the Assiut dam until April 1900. During periods when construction work had to stop due to floods, he studied mathematics from some textbooks he had with him, such as Jordan's Cours d'Analyse and Salmon's text on the analytic geometry of conic sections. He also visited the Cheops pyramid and made measurements which he wrote up and published in 1901. He also published a book on Egypt in the same year which contained a wealth of information on the history and geography of the country.

Учеба и университетская карьера

Каратеодори изучал инженерное дело в Бельгии, в Королевской военной академии, где его считали харизматичным и выдающимся студентом.

Докторские студенты

У Каратеодори было около 20 докторантов, среди которых Ханс Радемахер, известный своими работами в области анализа и теории чисел, и Поль Финслер, известный созданием пространства Финслера.

Академические контакты в Германии

Контакты Каратеодори в Германии были многочисленны и включали такие известные имена, как: Герман Минковский, Давид Гильберт, Феликс Клейн, Альберт Эйнштейн, Эдмунд Ландау, Герман Амандус Шварц, Липот Фейер. В трудный период Второй мировой войны его близкими коллегами в Баварской академии наук были Перрон и Тиеце. Эйнштейн, в то время член Прусской академии наук в Берлине, работал над своей общей теорией относительности, когда обратился к Каратеодори с просьбой разъяснить уравнение Гамильтона — Якоби и канонические преобразования. Он хотел получить удовлетворительное выведение первого и понять происхождение второго. Эйнштейн назвал вывод Каратеодори "прекрасным" и рекомендовал опубликовать его в журнале Annalen der Physik. Эйнштейн использовал это выведение в своей статье 1917 года под названием Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein (О квантовой теореме Зоммерфельда и Эпштейна). Каратеодори объяснил некоторые фундаментальные детали канонических преобразований и порекомендовал Эйнштейну обратиться к труду Э. Т. Уиттакера «Аналитическая динамика». Эйнштейн пытался решить проблему "замкнутых временных линий", то есть геодезических, соответствующих замкнутой траектории света и свободных частиц в статической вселенной, которую он представил в 1917 году. Ландау и Шварц стимулировали его интерес к изучению комплексного анализа.

Академические контакты в Греции

В Германии Каратеодори поддерживал многочисленные связи с греческим академическим сообществом, подробную информацию о которых можно найти в книге Георгиаду. Он принимал непосредственное участие в реорганизации греческих университетов. Особенно близким другом и коллегой в Афинах был Николаос Критикос, который посещал его лекции в Геттингене, а затем последовал за ним в Смирну и впоследствии стал профессором Афинского политехнического института. Критикос и Каратеодори помогли греческому топологу Христосу Папакириакопулосу защитить докторскую диссертацию по топологии в Афинском университете в 1943 году в очень тяжелых условиях. Преподавая в Афинском университете, Каратеодори был научным руководителем студента Евангелоса Стаматиса, который впоследствии добился значительных успехов как исследователь древнегреческой математической классики.

Расчет вариаций

В своей докторской диссертации Каратеодори показал, как расширять решения на случаи разрыва, и изучал изопериметрические задачи. Каратеодори разработал свой метод для получения достаточных условий, основанный на использовании уравнения Гамильтона — Якоби для построения поля экстремалей. Эти идеи тесно связаны с распространением света в оптике. Метод получил название метода Каратеодори эквивалентных вариационных задач или «королевской дороги» к вариационному исчислению. Ключевым достоинством работы Каратеодори по этой теме является то, что она проясняет связь между вариационным исчислением и уравнениями в частных производных.

Выпуклая геометрия

Теорема Каратеодори в выпуклой геометрии утверждает, что если точка x принадлежит выпуклой оболочке множества P, то x можно представить в виде выпуклой комбинации не более чем d+1 точек из P. А именно, существует подмножество S множества P, состоящее из d+1 или менее точек, такое что x принадлежит выпуклой оболочке S. Эквивалентно, x принадлежит d-симплексу с вершинами в P, где d – размерность пространства. Наименьшее d+1, для которого последнее утверждение верно для каждой точки x из выпуклой оболочки P, определяется как число Каратеодори. В зависимости от свойств P, можно получить верхние оценки, меньшие, чем те, что дает теорема Каратеодори. Каратеодори также принадлежит авторство гипотезы Каратеодори, утверждающей, что замкнутая выпуклая поверхность допускает по крайней мере две пупочные точки. По состоянию на 2021 год эта гипотеза оставалась недоказанной, несмотря на значительное количество исследований, посвященных ей.

Реальный анализ

Он доказал теорему о существовании решения обыкновенных дифференциальных уравнений при мягких условиях регулярности. Другая его теорема о производной функции в точке могла быть использована для доказательства правила цепочки и формулы для производной обратной функции.

Комплексный анализ

Он значительно расширил теорию конформных преобразований, доказав свою теорему о расширении конформного отображения на границу областей Жордана. При изучении граничного соответствия он заложил основы теории главных концов. В 1909 году он опубликовал новаторскую работу «Исследования основ термодинамики», в которой сформулировал второй закон термодинамики аксиоматически, то есть без использования двигателей и холодильников Карно, опираясь исключительно на математические рассуждения. Это еще одна формулировка второго закона, наряду с формулировками Клаузиуса, Кельвина и Планка. Формулировка Каратеодори привлекла внимание выдающихся физиков того времени, включая Макса Планка, Макса Борна и Арнольда Зоммерфельда. Макс Борн назвал это «первым аксиоматически строгим основанием термодинамики» и выразил свой энтузиазм в письмах Эйнштейну, отметив, что, хотя он был впечатлен математическим мастерством Каратеодори, он не считал эту формулировку фундаментальной, учитывая статистическую природу второго закона. Он сформулировал аксиоматический принцип необратимости в термодинамике, утверждая, что недостижимость состояний связана с существованием энтропии, при этом температура выступает в качестве интегрирующей функции. Второй закон термодинамики был выражен следующим образом в виде аксиомы: «В окрестности любого начального состояния существуют состояния, к которым нельзя произвольно близко подойти посредством адиабатических изменений состояния». В связи с этим он ввел термин «адиабатическая достижимость».

Оптическая

Работа Каратеодори в области оптики тесно связана с его методом в исчислении вариаций. В 1926 году он представил строгое и общее доказательство того, что ни одна система линз и зеркал не может избежать аберраций, за исключением тривиального случая плоских зеркал. В своих более поздних работах он разработал теорию телескопа Шмидта. В своей книге «Геометрическая оптика» (1937) Каратеодори показал эквивалентность принципа Гюйгенса и принципа Ферма, выводя второй из первого с использованием теории характеристик Коши. Он утверждал, что важное преимущество его подхода заключается в том, что он охватывает интегральные инварианты Анри Пуанкаре и Эли Картана и дополняет закон Малюса. Он пояснил, что в своих исследованиях в области оптики Пьер де Ферма сформулировал принцип минимума, аналогичный принципу, изложенному Героем Александрийским для изучения отражения.

Исторические

Во время Второй мировой войны Каратеодори отредактировал два тома "Полных трудов Эйлера", посвященных вариационному исчислению, которые были представлены для публикации в 1946 году.

Университет Смирна

В то время Афины были единственным крупным образовательным центром в регионе и имели ограниченные возможности для удовлетворения растущих образовательных потребностей восточной части Эгейского моря и Балкан. Каратеодори, который в то время был профессором Берлинского университета, предложил создать новый университет. Трудности, связанные с созданием греческого университета в Константинополе, заставили его рассмотреть три других города: Салоники, Хиос и Смирна. По приглашению премьер-министра Греции Элефтериоса Венизелоса 20 октября 1919 года он представил план создания нового университета в Смирне в Малой Азии, который должен был быть назван Ионическим университетом Смирны. В 1920 году Каратеодори был назначен деканом университета и принял активное участие в создании учреждения, совершив поездки по Европе для закупки книг и оборудования. Однако университет так и не принял студентов из-за войны в Малой Азии, завершившейся Великим пожаром в Смирне. Каратеодори удалось спасти книги из библиотеки, и он был спасен в последний момент журналистом, который на лодке перевез его на стоявший поблизости броненосец «Наксос». Каратеодори привез в Афины часть университетской библиотеки и остался там, преподавая в университете и техническом училище до 1924 года. В 1924 году Каратеодори был назначен профессором математики в Мюнхенском университете и занимал эту должность до выхода на пенсию в 1938 году. Впоследствии он работал в Баварской академии наук до своей смерти в 1950 году. Новый греческий университет в более широком регионе Юго-Восточного Средиземноморья, как первоначально задумывал Каратеодори, наконец был создан с основанием Аристотелева университета в Салониках в 1925 году.

Языковые и ораторские способности

Каратеодори превосходил в знании языков, как и многие члены его семьи. Греческий и французский были его родными языками, а немецкий он освоил с таким совершенством, что его работы, написанные на немецком языке, являются стилистическими шедеврами. Каратеодори также без труда говорил и писал на английском, итальянском, турецком и древних языках. Такой впечатляющий лингвистический арсенал позволял ему общаться и обмениваться идеями напрямую с другими математиками во время его многочисленных путешествий и значительно расширял его кругозор. Более того, Каратеодори был желанным собеседником для его коллег-профессоров в Мюнхенском философском факультете. Известный немецкий филолог и профессор древних языков Курт фон Фриц высоко ценил Каратеодори, отмечая, что от него можно было узнать безграничное количество знаний о древней и новой Греции, древнегреческом языке и эллинской математике. Фон Фриц проводил с Каратеодори многочисленные философские дискуссии. Математик отправил своего сына Стефаноса и дочь Деспину в немецкую гимназию, но они также ежедневно получали дополнительные уроки греческого языка и культуры от греческого священника, а дома он разрешал им говорить только по-гречески. Каратеодори был талантливым оратором и часто получал приглашения выступить с речью. В 1936 году именно он вручил первые медали Филдса на заседании Международного конгресса математиков в Осло, Норвегия. В городе Неа-Висса, ancestral home Каратеодори, находится уникальный семейный музей. Музей расположен на центральной площади города, рядом с церковью, и включает в себя ряд личных вещей Каратеодори, а также письма, которыми он обменивался с Альбертом Эйнштейном. Более подробную информацию можно найти на оригинальном сайте клуба: http://www.skaratheodoris.gr. Одновременно греческие власти давно планировали создать музей в честь Каратеодори в Комотини, крупном городе северо-восточного региона Греции, расположенном более чем в 200 км от его родного города. 21 марта 2009 года музей "Каратеодорис" (Καραθεοδωρής) открыл свои двери для публики в Комотини. Координатор музея, Афанасиос Липордезис (Αθανάσιος Λιπορδέζης), отметил, что в музее хранятся оригинальные рукописи математика объемом около 10 000 страниц, включая переписку с немецким математиком Артуром Розенталем, касающуюся алгебраизации теории меры. В витринах посетители также могут увидеть книги "Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4", "Mass und ihre Algebraiserung", "Reelle Functionen Band 1", "Zahlen/Punktionen Funktionen" и другие. На выставке представлены рукописные письма Каратеодори Альберту Эйнштейну и Хеллмуту Кнезеру, а также фотографии семьи Каратеодори. Работа по пополнению экспозиции музея продолжается.

Carathéodory excelled at languages, much like many members of his family. Greek and French were his first languages, and he mastered German with such perfection, that his writings composed in the German language are stylistic masterworks. Carathéodory also spoke and wrote English, Italian, Turkish, and the ancient languages without any effort. Such an impressive linguistic arsenal enabled him to communicate and exchange ideas directly with other mathematicians during his numerous travels, and greatly extended his fields of knowledge. Much more than that, Carathéodory was a treasured conversation partner for his fellow professors in the Munich Department of Philosophy. The well respected German philologist and professor of ancient languages, Kurt von Fritz, praised Carathéodory on the grounds that from him one could learn an endless amount about the old and new Greece, the old Greek language, and Hellenic mathematics. Von Fritz conducted numerous philosophical discussions with Carathéodory. The mathematician sent his son Stephanos and daughter Despina to a German high school, but they also obtained daily additional instruction in Greek language and culture from a Greek priest, and at home he allowed them to speak Greek only. Carathéodory was a talented public speaker, and was often invited to give speeches. In 1936, it was he who handed out the first ever Fields Medals at the meeting of the International Congress of Mathematicians in Oslo, Norway. In the town of Nea Vyssa, Caratheodory's ancestral home, a unique family museum is to be found. The museum is located in the central square of the town near to its church, and includes a number of Karatheodory's personal items, as well as letters he exchanged with Albert Einstein. More information is provided at the original website of the club, http://www. s karatheodoris. gr. At the same time, Greek authorities had long since intended to create a museum honoring Karatheodoris in Komotini, a major town of the northeastern Greek region, more than 200km away from his home town above. On 21 March 2009, the "Karatheodoris" Museum (Καραθεοδωρής) opened its gates to the public in Komotini. The coordinator of the Museum, Athanasios Lipordezis (Αθανάσιος Λιπορδέζης), has noted that the museum provides a home for original manuscripts of the mathematician running to about 10,000 pages, including correspondence with the German mathematician Arthur Rosenthal for the algebraization of measure. At the showcase, visitors are also able to view the books " Gesammelte mathematische Schriften Band 1,2,3,4 ", "Mass und ihre Algebraiserung", " Reelle Functionen Band 1", " Zahlen/Punktionen Funktionen ", and a number of others. Handwritten letters by Carathéodory to Albert Einstein and Hellmuth Kneser, as well as photographs of the Carathéodory family, are on display. Efforts to furnish the museum with more exhibits are ongoing.

Биографические статьи

C. Carathéodory, Autobiographische Notizen, (на немецком языке) Wiener Akad. Wiss. 1954–57, т. V, стр. 389–408. Перепечатано в Сборнике сочинений Каратеодори, т. V. Английский перевод в A. Shields, Carathéodory и конформное отображение, The Mathematical Intelligencer 10 (1) (1988), 18–22. O. Perron, Некролог: Константин Каратеодори, Jahresberichte der Deutschen Mathematiker Vereinigung 55 (1952), 39–51. N. Sakellariou, Некролог: Константин Каратеодори (на греческом языке), Bull. Soc. Math. Grèce 26 (1952), 1–13. H. Tietze, Некролог: Константин Каратеодори, Arch. Math. 2 (1950), 241–245. H. Behnke, Жизнь и деятельность Каратеодори, в A. Panayotopolos (ред.), Материалы Международного симпозиума имени К. Каратеодори, сентябрь 1973 г., Афины (Афины, 1974), 17–33. R. Bulirsch, M. Hardt, (2000): Константин Каратеодори: Жизнь и творчество, Международный конгресс: "Константин Каратеодори", 1–4 сентября 2000 г., Висса, Орестиада, Греция.

Энциклопедии и справочные работы

Chambers Biographical Dictionary (1997), Constantine Carathéodory, 6-е издание, Эдинбург: Chambers Harrap Publishers Ltd, стр. 270–271, (также доступно онлайн). The New Encyclopædia Britannica (1992), Constantine Carathéodory, 15-е издание, том 2, США: The University of Chicago, Encyclopædia Britannica, Inc., стр. 842, * Новое издание. Онлайн-статья. H. Boerner, Биография Каратеодори в Dictionary of Scientific Biography (Нью-Йорк 1970–1990).

Конференции

Международный симпозиум имени К. Каратеодори, Афины, Греция, сентябрь 1973 года. Сборник статей под редакцией А. Панайотопулоса (Греческое математическое общество), 1975 год. Онлайн-конференция, посвященная достижениям в выпуклом анализе и глобальной оптимизации (в память о К. Каратеодори), 5–9 июня 2000 года, Пифагорейон, Самос, Греция. Онлайн. Международный конгресс: Каратеодори и его истоки, 1–4 сентября 2000 года, Висса Орестиада, Греция. Сборник трудов под редакцией Томаса Воугюклиса (Демокритов университет Фракии), Hadronic Press FL USA, 2001 год.