Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Éléments de géométrie algébrique ("Элементы алгебраической геометрии") Александра Гротендика (при содействии Жана Дийодонне), или EGA, — это строгий трактат на французском языке по алгебраической геометрии, опубликованный (в восьми частях или фасцикулах) с 1960 по 1967 год Институтом высших научных исследований. В этой работе Гротендик заложил систематические основы алгебраической геометрии, опираясь на понятие схем, которое он ввёл. В настоящее время эта работа считается краеугольным камнем и основным справочником современной алгебраической геометрии.
The Éléments de géométrie algébrique ("Elements of Algebraic Geometry") by Alexander Grothendieck (assisted by Jean Dieudonné), or EGA for short, is a rigorous treatise, in French, on algebraic geometry that was published (in eight parts or fascicles) from 1960 through 1967 by the Institut des Hautes Études Scientifiques. In it, Grothendieck established systematic foundations of algebraic geometry, building upon the concept of schemes, which he defined. The work is now considered the foundation stone and basic reference of modern algebraic geometry.
Издания
Первоначально планировалось тринадцать глав, но были опубликованы только первые четыре (в общей сложности около 1500 страниц). Большая часть материала, который должен был войти в последующие главы, содержится в менее отшлифованном виде в «Семинаре по алгебраической геометрии» (известном как SGA). Действительно, как объясняет Гротендик в предисловии к опубликованной версии SGA, к 1970 году стало ясно, что включение всего запланированного материала в EGA потребует существенных изменений в ранее опубликованных главах, и, следовательно, перспективы завершения EGA в обозримом будущем были ограничены. Ярким примером служат производные категории, которые стали незаменимым инструментом в более поздних томах SGA, но еще не использовались в EGA III, поскольку теория к тому времени еще не была разработана. Поэтому значительные усилия были направлены на обеспечение высокой степени полноты и строгости опубликованных томов SGA. Прежде чем работа над трактатом была прекращена, в 1966–67 годах планировалось расширить группу авторов за счет студентов Гротендика Пьера Делиня и Мишеля Рейно, что подтверждается опубликованной переписке между Гротендиком и Дэвидом Мамфордом. В письме Гротендика Мамфорду от 4 ноября 1966 года также указывается, что к тому времени была утверждена структура второй, пересмотренной редакции, и глава VIII уже предназначалась для охвата схемы Пикара. В этом письме он оценил, что при сохраняющихся темпах написания следующие четыре главы (V–VIII) потребовали бы восемь лет, что указывает на предполагаемый объем, сопоставимый с первыми четырьмя главами, над которыми в то время работали около восьми лет. Тем не менее, Гротендик написал пересмотренную версию EGA I, опубликованную Springer Verlag. В ней обновлена терминология: «пресхема» заменена на «схему», а «схема» — на «разделенную схему», и делается акцент на использовании представимых функторов. В новом предисловии ко второму изданию также представлен слегка пересмотренный план полного трактата, теперь разделенного на двенадцать глав. EGA V Гротендика, посвященная теоремам типа Бертини, в некоторой степени доступна на сайте Grothendieck Circle. Monografie Matematyczne в Польше приняла этот том к публикации, но процесс редактирования идет довольно медленно (по состоянию на 2010 год). Джеймс Милн сохранил некоторые из оригинальных записей Гротендика и их перевод на английский язык. Они могут быть доступны на его веб-сайтах, связанных с Мичиганским университетом в Энн-Арборе.
Initially thirteen chapters were planned, but only the first four (making a total of approximately 1500 pages) were published. Much of the material which would have been found in the following chapters can be found, in a less polished form, in the Séminaire de géométrie algébrique (known as SGA). Indeed, as explained by Grothendieck in the preface of the published version of SGA, by 1970 it had become clear that incorporating all of the planned material in EGA would require significant changes in the earlier chapters already published, and that therefore the prospects of completing EGA in the near term were limited. An obvious example is provided by derived categories, which became an indispensable tool in the later SGA volumes, but was not yet used in EGA III as the theory was not yet developed at the time. Considerable effort was therefore spent to bring the published SGA volumes to a high degree of completeness and rigour. Before work on the treatise was abandoned, there were plans in 1966–67 to expand the group of authors to include Grothendieck's students Pierre Deligne and Michel Raynaud, as evidenced by published correspondence between Grothendieck and David Mumford. Grothendieck's letter of 4 November 1966 to Mumford also indicates that the second edition revised structure was in place by that time, with Chapter VIII already intended to cover the Picard scheme. In that letter he estimated that at the pace of writing up to that point, the following four chapters (V to VIII) would have taken eight years to complete, indicating an intended length comparable to the first four chapters, which had been in preparation for about eight years at the time. Grothendieck nevertheless wrote a revised version of EGA I which was published by Springer Verlag. It updates the terminology, replacing "prescheme" by "scheme" and "scheme" by "separated scheme", and heavily emphasizes the use of representable functors. The new preface of the second edition also includes a slightly revised plan of the complete treatise, now divided into twelve chapters. Grothendieck's EGA V which deals with Bertini type theorems is to some extent available from the Grothendieck Circle website. Monografie Matematyczne in Poland has accepted this volume for publication, but the editing process is quite slow (as of 2010). James Milne has preserved some of the original Grothendieck notes and a translation of them into English. They may be available from his websites connected with the University of Michigan in Ann Arbor.
Главы
В следующей таблице изложены оригинальный и пересмотренный план трактата и указано, где (в SGA или в другом месте) темы, предназначенные для более поздних, неопубликованных глав, были рассмотрены Гротендикком и его сотрудниками. # Первое издание Второе издание Комментарии I Le langage des schémas Язык схем Второе издание включает некоторые схемы, представляющие функторы, такие как грассманианы, предположительно из намеченной главы V первого издания. Кроме того, содержание раздела 1 главы IV первого издания было перенесено в главу I во втором издании. II Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes Глобальное элементарное исследование некоторых классов морфизмов Первое издание полностью, второе издание не вышло. III Étude cohomologique des faisceaux cohérents Cohomologie des Faisceaux algébriques cohérents. Applications. Первое издание полностью, за исключением последних четырех разделов, предназначенных для публикации после главы IV: элементарная проективная двойственность, локальная когомология и ее связь с проективной когомологией, и группы Пикарда (все, кроме проективной двойственности, рассмотрены в SGA II). IV Étude locale des schémas et des morphismes de schémas Étude locale des schémas et des morphismes de schémas Первое издание практически завершено; некоторые изменения внесены в последние разделы; раздел о гиперплоскостных сечениях преобразован в новую главу V второго издания (существует черновик). V Procédés élémentaires de construction de schémas Complements sur les morphismes projectifs Не вышло. Некоторые элементарные конструкции схем, по-видимому, предназначенные для первого издания, появляются в главе I второго издания. Существующий черновик главы V соответствует плану второго издания. Он также включает расширенное рассмотрение некоторых материалов из SGA VII. VI Technique de descente. Méthode générale de construction des schémas Techniques de construction de schémas Не вышло. Теория спуска и связанные с ней методы построения, обобщенные Гротендикком в FGA. К 1968 году план развился до рассмотрения алгебраических пространств и алгебраических стеков. VII Schémas de groupes, espaces fibrés principaux Schémas en groupes, espaces fibrés principaux Не вышло. Подробно рассмотрено в SGA III. VIII Étude différentielle des espaces fibrés Le schéma de Picard Не вышло. Материал, по-видимому, предназначенный для первого издания, можно найти в SGA III, конструкция и результаты по схеме Пикарда обобщены в FGA. IX Le groupe fondamental Le groupe fondamental Не вышло. Подробно рассмотрено в SGA I. X Résidus et dualité Résidus et dualité Не вышло. Подробно рассмотрено в издании Хартсхорна записей Гротендика "Остатки и двойственность". XI Théorie d'intersection, classes de Chern, théorème de Riemann Roch Théorie d'intersection, classes de Chern, théorème de Riemann Roch Не вышло. Подробно рассмотрено в SGA VI. XII Schémas abéliens et schémas de Picard Cohomologie étale des schémas Не вышло. Этальная когомология подробно рассмотрена в SGA IV, SGA V. XIII Cohomologie de Weil none Предназначалось для охвата этальной когомологии в первом издании. В дополнение к главам, обширная "глава 0" о различных предварительных сведениях была разделена между томами, в которых появился трактат. Темы, рассматриваемые в данном исследовании, варьируются от теории категорий, теории пучков и общей топологии до коммутативной алгебры и гомологической алгебры. Самая длинная часть главы 0, приложенная к главе IV, составляет более 200 страниц. Гротендик никогда не давал разрешения на переиздание второго издания EGA I, поэтому экземпляры редки, но встречаются во многих библиотеках. Работа над EGA была окончательно прервана уходом Гротендик сначала из IHÉS в 1970 году, а вскоре после этого из математического сообщества в целом. Неполные заметки Гротендика по EGA V можно найти в Grothendieck Circle. В историческом плане, развитие подхода EGA закрепило применение теории пучков в алгебраической геометрии, начатое основополагающей работой Серра FAC. В ней также содержалось первое полное изложение алгебраического подхода к дифференциальному исчислению через главные части. Предложенное им фундаментальное объединение (см., например, объединяющие теории в математике) выдержало испытание временем. EGA была отсканирована NUMDAM и доступна на их веб-сайте под "Publications mathématiques de l'IHÉS", томами 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2e), 20 (EGAIV.1re), 24 (EGAIV.2e), 28 (EGAIV.3e) и 32 (EGAIV.4e).
The following table lays out the original and revised plan of the treatise and indicates where (in SGA or elsewhere) the topics intended for the later, unpublished chapters were treated by Grothendieck and his collaborators. # First edition Second edition Comments I Le langage des schémas Le langage des schémas Second edition brings in certain schemes representing functors such as Grassmannians, presumably from intended Chapter V of the first edition. In addition, the contents of Section 1 of Chapter IV of first edition was moved to Chapter I in the second edition. II Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes First edition complete, second edition did not appear. III Étude cohomologique des faisceaux cohérents Cohomologie des Faisceaux algébriques cohérents. Applications. First edition complete except for last four sections, intended for publication after Chapter IV: elementary projective duality, local cohomology and its relation to projective cohomology, and Picard groups (all but projective duality treated in SGA II). IV Étude locale des schémas et des morphismes de schémas Étude locale des schémas et des morphismes de schémas First edition essentially complete; some changes made in last sections; the section on hyperplane sections made into the new Chapter V of second edition (draft exists) V Procédés élémentaires de construction de schémas Complements sur les morphismes projectifs Did not appear. Some elementary constructions of schemes apparently intended for first edition appear in Chapter I of second edition. The existing draft of Chapter V corresponds to the second edition plan. It includes also expanded treatment of some material from SGA VII. VI Technique de descente. Méthode générale de construction des schémas Techniques de construction de schémas Did not appear. Descent theory and related construction techniques summarised by Grothendieck in FGA. By 1968 the plan had evolved to treat algebraic spaces and algebraic stacks. VII Schémas de groupes, espaces fibrés principaux Schémas en groupes, espaces fibrés principaux Did not appear. Treated in detail in SGA III. VIII Étude différentielle des espaces fibrés Le schéma de Picard Did not appear. Material apparently intended for first edition can be found in SGA III, construction and results on Picard scheme are summarised in FGA. IX Le groupe fondamental Le groupe fondamental Did not appear. Treated in detail in SGA I. X Résidus et dualité Résidus et dualité Did not appear. Treated in detail in Hartshorne's edition of Grothendieck's notes "Residues and duality" XI Théorie d'intersection, classes de Chern, théorème de Riemann Roch Théorie d'intersection, classes de Chern, théorème de Riemann Roch Did not appear. Treated in detail in SGA VI. XII Schémas abéliens et schémas de Picard Cohomologie étale des schémas Did not appear. Étale cohomology treated in detail in SGA IV, SGA V. XIII Cohomologie de Weil none Intended to cover étale cohomology in the first edition. In addition to the actual chapters, an extensive "Chapter 0" on various preliminaries was divided between the volumes in which the treatise appeared. Topics treated range from category theory, sheaf theory and general topology to commutative algebra and homological algebra. The longest part of Chapter 0, attached to Chapter IV, is more than 200 pages. Grothendieck never gave permission for the 2nd edition of EGA I to be republished, so copies are rare but found in many libraries. The work on EGA was finally disrupted by Grothendieck's departure first from IHÉS in 1970 and soon afterwards from the mathematical establishment altogether. Grothendieck's incomplete notes on EGA V can be found at Grothendieck Circle. In historical terms, the development of the EGA approach set the seal on the application of sheaf theory to algebraic geometry, set in motion by Serre's basic paper FAC. It also contained the first complete exposition of the algebraic approach to differential calculus, via principal parts. The foundational unification it proposed (see for example unifying theories in mathematics) has stood the test of time. EGA has been scanned by NUMDAM and is available at their website under "Publications mathématiques de l'IHÉS", volumes 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2e), 20 (EGAIV.1re), 24 (EGAIV.2e), 28 (EGAIV.3e) and 32 (EGAIV.4e).