Введение

Размах между экстремальными значениями

В математике, осцилляция функции или последовательности — это число, которое количественно определяет степень изменения этой последовательности или функции между её экстремальными значениями при стремлении к бесконечности или к точке. Как и в случае с пределами, существует несколько определений, приводящих интуитивное понятие к форме, подходящей для математической обработки: осцилляция последовательности вещественных чисел, осцилляция вещественной функции в точке и осцилляция функции на интервале (или открытом множестве).

Колебание последовательности

Пусть {x_n} – последовательность действительных чисел. Колебание этой последовательности определяется как разность (возможно, бесконечная) между верхней и нижней границами последовательности:

Колебание равно нулю тогда и только тогда, когда последовательность сходится. Оно не определено, если и верхняя, и нижняя границы равны +∞ или обе равны −∞, то есть, если последовательность стремится к +∞ или −∞.

Примеры

имеет колебание ∞ при = 0 и колебание 0 при других конечных значениях и при −∞ и +∞. (синусоида тополога) имеет колебание 2 при = 0 и 0 в остальных точках. имеет колебание 0 при любом конечном значении , и 2 при −∞ и +∞. Или 1, 1, 1, 1, 1, 1 имеет колебание 2. В последнем примере последовательность периодична, и любая периодическая, но не постоянная последовательность будет иметь ненулевое колебание. Однако, ненулевое колебание обычно не свидетельствует о периодичности. Геометрически, график колеблющейся функции на действительных числах следует некоторому пути в плоскости xy, не стремясь к все меньшим и меньшим областям. В благоприятных случаях этот путь может напоминать петлю, возвращающуюся к себе, то есть периодическое поведение; в наихудших случаях – довольно нерегулярное движение, охватывающее всю область.