Введение

В математике, в частности в абстрактной алгебре, артинианское кольцо (иногда кольцо Артина) — это кольцо, удовлетворяющее условию убывающей цепи идеалов (односторонних); то есть, не существует бесконечной убывающей последовательности идеалов. Артиновские кольца названы в честь Эмиля Артина, который первым обнаружил, что условие убывающей цепи для идеалов одновременно обобщает конечные кольца и кольца, являющиеся конечномерными векторными пространствами над полями. Определение артинианских колец можно переформулировать, заменив условие убывающей цепи на эквивалентное понятие — условие минимальности. В частности, кольцо называется левоартинианским, если оно удовлетворяет условию убывающей цепи на левые идеалы, правоартинианским, если оно удовлетворяет условию убывающей цепи на правые идеалы, и артинианским, или двусторонним артинианским, если оно является одновременно лево- и правоартинианским. Для коммутативных колец левое и правое определения совпадают, но в общем случае они различны. Теорема Уэддерберна — Артина характеризует каждое простое артинианское кольцо как кольцо матриц над полем. Это означает, что простое кольцо является левоартинианским тогда и только тогда, когда оно является правоартинианским. То же определение и терминология могут быть применены к модулям, заменяя идеалы подмодулями. Хотя условие убывающей цепи кажется двойственным условию возрастающей цепи, в кольцах оно фактически является более сильным условием. В частности, следствием теоремы Акидзуки — Хопкинса — Левицки является то, что левоартинианское (соответственно, правоартинианское) кольцо автоматически является левонотеровым (соответственно, правонотеровым) кольцом. Это неверно для общих модулей; то есть, артинианский модуль не обязательно должен быть нотеровым модулем.

Примеры и контрпримеры

Целостное кольцо является артиновым тогда и только тогда, когда оно является полем. Кольцо с конечным числом, скажем, левых идеалов, является левоартиновым. В частности, конечное кольцо (например, ) является лево- и правоартиновым. Пусть k – поле. Тогда является артиновым для каждого положительного целого числа n. Аналогично, является артиновым кольцом с максимальным идеалом . Пусть – эндоморфизм конечного размерного векторного пространства V. Тогда субальгебра, порожденная , является коммутативным артиновым кольцом. Если I – ненулевой идеал дедекиндова домена A, то является основным артиновым кольцом. Для каждого , полное матричное кольцо над левоартиновым (соответственно, левоноэтеровым) кольцом R является левоартиновым (соответственно, левоноэтеровым). Следующие два примера – примеры неартиновых колец. Если R – любое кольцо, то полиномиальное кольцо R[x] не является артиновым, поскольку идеал, порожденный содержится (собственно) в идеале, порожденном для всех натуральных чисел n. В отличие от этого, если R является ноэтеровым, то R[x] также является ноэтеровым по теореме Гильберта о базисе. Кольцо целых чисел является ноэтеровым кольцом, но не является артиновым.

Модули над артинианскими кольцами

Пусть M — левый модуль над левым артиновым кольцом. Тогда следующие утверждения эквивалентны (теорема Хопкинса): (i) M конечно порожден, (ii) M имеет конечную длину (т.е. имеет композиционный ряд), (iii) M является ноэтеровым, (iv) M является артиновым.

Коммутативные артинианские кольца

Пусть A — коммутативное нётерово кольцо с единицей. Тогда следующие утверждения эквивалентны: A — артиновское кольцо. A является конечным произведением коммутативных артиновских локальных колец. A / nil(A) — полупростое кольцо, где nil(A) — нильрадикал A. Каждый конечно порожденный модуль над A имеет конечную длину (см. выше). A имеет размерность Крулла, равную нулю. (В частности, нильрадикал совпадает с радикалом Джейкобсона, поскольку простые идеалы являются максимальными.) Множество простых идеалов конечно и дискретно. Множество простых идеалов дискретно. Пусть k — поле и A — конечно порожденная k-алгебра. Тогда A артиновское тогда и только тогда, когда A конечно порождено как k-модуль. Артиновское локальное кольцо полно. Факторкольцо и локализация артиновского кольца являются артиновскими.