Введение

Решение целочисленных уравнений на основе всех модульных решений
В математике принцип локализации-глобализации Гельмюта Хассе, также известный как принцип Хассе, заключается в идее, что целочисленное решение уравнения можно найти, используя китайскую теорему об остатках для построения решений по модулю степеней каждого различного простого числа. Это достигается путем изучения уравнения в полных полях рациональных чисел: в поле вещественных чисел и в p-адических полях. Более формальная формулировка принципа Хассе утверждает, что определенные типы уравнений имеют рациональное решение тогда и только тогда, когда они имеют решение в вещественных числах и в p-адических числах для каждого простого числа p.

Интуиция

Для полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, если оно имеет рациональное решение, то это также дает решение в действительных числах и p-адическое решение, поскольку рациональные числа вкладываются в действительные и p-адические числа: глобальное решение порождает локальные решения для каждого простого числа. Принцип Хассе спрашивает, когда можно осуществить обратное, или, точнее, каково препятствие: когда можно "склеить" решения над действительными и p-адическими числами, чтобы получить решение над рациональными числами: когда локальные решения можно объединить для получения глобального решения? Можно задать этот вопрос и для других колец или полей: например, для целых чисел или числовых полей. Для числовых полей, вместо действительных и p-адических чисел, используются комплексные вложения и p-адические числа для простых идеалов.

Квадратные формы

Теорема Хассе–Минковского утверждает, что локально-глобальный принцип действует для задачи представления нуля квадратными формами над рациональными числами (что является результатом Минковского); и в более общем случае — над любым числовым полем (как было доказано Хассе), при использовании всех соответствующих необходимых условий для локальных полей. Теорема Хассе о циклических расширениях утверждает, что локально-глобальный принцип применим к условию, чтобы элемент являлся относительной нормой в циклическом расширении числовых полей.

Кубические формы

Контрпример Эрнста С. Селмера показывает, что теорему Хассе — Минковского нельзя распространить на формы степени 3: кубическое уравнение 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0 имеет решение в действительных числах и во всех p-адических полях, но не имеет нетривиального решения, в котором x, y и z являются рациональными числами. Роджер Хит-Браун показал, что каждая кубическая форма над целыми числами с не менее чем 14 переменными представляет 0, улучшая более ранние результаты Давенпорта. Поскольку каждая кубическая форма над p-адическими числами с не менее чем десятью переменными представляет 0, тем самым тривиально устанавливая принцип Хассе для этого класса форм. Известно, что результат Хита-Брауна является наилучшим возможным в том смысле, что существуют невырожденные кубические формы над рациональными числами с 9 переменными, которые не представляют ноль. Однако Хули показал, что принцип Хассе выполняется для представления 0 невырожденными кубическими формами над рациональными числами с не менее чем девятью переменными. Давенпорт, Хит-Браун и Хули использовали в своих доказательствах метод круга Харди — Литтлвуда. Согласно идее Манина, препятствия выполнению принципа Хассе для кубических форм можно связать с теорией группы Брауэра; это препятствие Брауэра — Манина, которое полностью объясняет нарушение принципа Хассе для некоторых классов многообразий. Однако, Скоробогатов показал, что препятствие Брауэра — Манина не может объяснить все нарушения принципа Хассе.

Формы высшей степени

Контрпримеры Фудзивары и Судо показывают, что теорема Хассе — Минковского не может быть расширена на формы степени 10n + 5, где n — неотрицательное целое число. С другой стороны, теорема Бирча показывает, что если d — любое нечётное натуральное число, то существует число N(d), такое что любая форма степени d с числом переменных, большим чем N(d), представляет 0: принцип Хассе выполняется тривиально.

Теорема Альберта Брауера Хассе Ноэтера

Теорема Альберта — Брауэра — Хассе — Ноэтера устанавливает локально-глобальный принцип для расщепления центральной простой алгебры A над алгебраическим числовым полем K. Она утверждает, что если A расщепляется над всяким завершением Kv, то она изоморфна матричной алгебре над K.