Введение

Фигурное число

Пятиугольное число — это фигурное число, которое расширяет понятие треугольных и квадратных чисел на пятиугольник, но, в отличие от первых двух, узоры, участвующие в построении пятиугольных чисел, не являются вращательно симметричными. n-е пятиугольное число pn — это количество различных точек в узоре из точек, состоящем из контуров правильных пятиугольников со сторонами до n точек, когда пятиугольники накладываются друг на друга так, что они имеют одну вершину. Например, третье число формируется из контуров, состоящих из 1, 5 и 10 точек, но 1 и 3 из 5 совпадают с 3 из 10, оставляя 12 различных точек, 10 в форме пятиугольника и 2 внутри. pn задается формулой:

для n ≥ 1. Первые несколько пятиугольных чисел:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187
n-е пятиугольное число — это сумма n целых чисел, начиная с n (т. е. от n до 2n–1). Также справедливы следующие соотношения:

Пятиугольные числа тесно связаны с треугольными числами. n-е пятиугольное число равно одной трети (3n–1)-го треугольного числа. Кроме того, где Tn — это n-е треугольное число:

Обобщенные пятиугольные числа получаются из приведенной выше формулы, но при n, принимающем значения в последовательности 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4, что дает последовательность:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335
Обобщенные пятиугольные числа важны для теории Эйлера о целочисленных разбиениях, как выражается в его теореме о пятиугольных числах. Количество точек внутри внешнего пятиугольника в узоре, формирующем пятиугольное число, само по себе является обобщенным пятиугольным числом.

Другие свойства

для n>0 является число различных композиций числа в n частей, не содержащих 2 или 3.
является суммой первых n натуральных чисел, дающих остаток 1 при делении на 3.