Многоугольник с десятью тысячами сторон (Мириагон)
Myriagon
Мириагон: многоугольник с 10000 сторонами. Геометрические свойства, формула площади, связь с философией и пределом к окружности. {10000} – символ Шлефли.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Многоугольник с 10000 сторонами
Polygon with 10000 edges
В геометрии мириагон, или 10000-угольник, — это многоугольник с 10000 сторонами. Некоторые философы использовали правильный мириагон для иллюстрации проблем, связанных с мышлением.
In geometry, a myriagon or 10000 gon is a polygon with 10000 sides. Several philosophers have used the regular myriagon to illustrate issues regarding thought.
Обычный миригон
Регулярный мириагон представлен символом Шлефли {10,000} и может быть построен как усечённый 5000-угольник, t{5000}, или дважды усечённый 2500-угольник, tt{2500}, или трижды усечённый 1250-угольник, ttt{1250}, или четырежды усечённый 625-угольник, tttt{625}. Мера каждого внутреннего угла в правильном мириагоне составляет 179,964°. Площадь правильного мириагона со сторонами длины a задаётся формулой:
A regular myriagon is represented by Schläfli symbol {10,000} and can be constructed as a truncated 5000 gon, t{5000}, or a twice truncated 2500 gon, tt{2500}, or a thrice truncated 1250 gon, ttt{1250}, or a four fold truncated 625 gon, tttt{625}. The measure of each internal angle in a regular myriagon is 179.964°. The area of a regular myriagon with sides of length a is given by
Результат отличается от площади его описанной окружности не более чем на 40 частей на миллиард. Поскольку 10,000 = 2⁴ × 5⁴, число сторон не является ни произведением различных простых чисел Ферма, ни степенью двойки. Таким образом, правильный мириагон не является построимым многоугольником. Действительно, он даже не построим с использованием трисектора угла, поскольку число сторон не является ни произведением различных простых чисел Пьерпона, ни произведением степеней двух и трёх.
The result differs from the area of its circumscribed circle by up to 40 parts per billion. Because 10,000 = 24 × 54, the number of sides is neither a product of distinct Fermat primes nor a power of two. Thus the regular myriagon is not a constructible polygon. Indeed, it is not even constructible with the use of an angle trisector, as the number of sides is neither a product of distinct Pierpont primes, nor a product of powers of two and three.
Симметрия
Регулярный мириагон имеет диэдрическую симметрию Dih10000 порядка 20000, представленную 10000 линиями отражения. Dih10000 имеет 24 диэдрические подгруппы: (Dih5000, Dih2500, Dih1250, Dih625), (Dih2000, Dih1000, Dih500, Dih250, Dih125), (Dih400, Dih200, Dih100, Dih50, Dih25), (Dih80, Dih40, Dih20, Dih10, Dih5) и (Dih16, Dih8, Dih4, Dih2, Dih1). Он также имеет 25 дополнительных циклических симметрий в качестве подгрупп: (Z10000, Z5000, Z2500, Z1250, Z625), (Z2000, Z1000, Z500, Z250, Z125), (Z400, Z200, Z100, Z50, Z25), (Z80, Z40, Z20, Z10) и (Z16, Z8, Z4, Z2, Z1), где Zn представляет вращательную симметрию на π/n радиан. Джон Конвей обозначает эти симметрии меньшего порядка буквой, за которой следует порядок симметрии. r20000 обозначает полную симметрию, а a1 – отсутствие симметрии. Он обозначает d (диагональную) симметрию зеркальными линиями, проходящими через вершины, p – зеркальными линиями, проходящими через середины сторон (перпендикулярно сторонам), i – зеркальными линиями, проходящими как через вершины, так и через середины сторон, и g – вращательную симметрию. Эти симметрии меньшего порядка позволяют задавать степени свободы при определении нерегулярных мириагонов. Только подгруппа g10000 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как направленные стороны.
The regular myriagon has Dih10000 dihedral symmetry, order 20000, represented by 10000 lines of reflection. Dih10000 has 24 dihedral subgroups: (Dih5000, Dih2500, Dih1250, Dih625), (Dih2000, Dih1000, Dih500, Dih250, Dih125), (Dih400, Dih200, Dih100, Dih50, Dih25), (Dih80, Dih40, Dih20, Dih10, Dih5), and (Dih16, Dih8, Dih4, Dih2, Dih1). It also has 25 more cyclic symmetries as subgroups: (Z10000, Z5000, Z2500, Z1250, Z625), (Z2000, Z1000, Z500, Z250, Z125), (Z400, Z200, Z100, Z50, Z25), (Z80, Z40, Z20, Z10), and (Z16, Z8, Z4, Z2, Z1), with Zn representing π/n radian rotational symmetry. John Conway labels these lower symmetries with a letter and order of the symmetry follows the letter. r20000 represents full symmetry, and a1 labels no symmetry. He gives d (diagonal) with mirror lines through vertices, p with mirror lines through edges (perpendicular), i with mirror lines through both vertices and edges, and g for rotational symmetry. These lower symmetries allows degrees of freedom in defining irregular myriagons. Only the g10000 subgroup has no degrees of freedom but can be seen as directed edges.
Мириаграмма
Мириаграмма — это звёздный многоугольник с 10 000 сторонами. Существует 1999 правильных форм, задаваемых символами Шлефли вида {10000/n}, где n — целое число от 2 до 5000, взаимно простое с 10000. В остальных случаях существует также 3000 правильных звёздных фигур.
A myriagram is a 10,000 sided star polygon. There are 1999 regular forms given by Schläfli symbols of the form {10000/n}, where n is an integer between 2 and 5,000 that is coprime to 10,000. There are also 3000 regular star figures in the remaining cases.
В популярной культуре
В повести "Плоская страна" считается, что у Главного Круга десять тысяч сторон, что делает его мириагоном.
In the novella Flatland, the Chief Circle is assumed to have ten thousand sides, making him a myriagon.