Введение
В теории колец, ветви математики, кольцо называется редуцированным, если оно не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Эквивалентно, кольцо редуцировано, если в нем нет ненулевых элементов, квадрат которых равен нулю, то есть, если x² = 0, то x = 0. Коммутативная алгебра над коммутативным кольцом называется редуцированной алгеброй, если ее базовое кольцо редуцировано. Нильпотентные элементы коммутативного кольца R образуют идеал в R, называемый нильрадикалом R; следовательно, коммутативное кольцо редуцировано тогда и только тогда, когда его нильрадикал равен нулю. Более того, коммутативное кольцо редуцировано тогда и только тогда, когда единственный элемент, содержащийся во всех простых идеалах, равен нулю. Факторкольцо R/I редуцировано тогда и только тогда, когда I является радикальным идеалом. Пусть обозначает нильрадикал коммутативного кольца. Существует функтор из категории коммутативных колец в категорию редуцированных колец, являющийся левым сопряженным к функтору включения из в . Естественное биективное отображение индуцируется универсальным свойством факторколец. Пусть D – множество всех делителей нуля в редуцированном кольце R. Тогда D является объединением всех минимальных простых идеалов. Для нётерова кольца R, мы говорим, что конечно порожденный модуль M имеет локально постоянный ранг, если является локально постоянной (или, эквивалентно, непрерывной) функцией на Spec R. Тогда R редуцировано тогда и только тогда, когда каждый конечно порожденный модуль локально постоянного ранга является проективным.
Примеры и не-примеры
Подкольца, произведения и локализации редуцированных колец снова являются редуцированными кольцами. Кольцо целых чисел Z является редуцированным кольцом. Каждое поле и каждое кольцо многочленов над полем (в любом количестве переменных) является редуцированным кольцом. В более общем случае, каждое целостное кольцо является редуцированным кольцом, поскольку нильпотентный элемент тем более является делителем нуля. С другой стороны, не каждое редуцированное кольцо является целостным кольцом; например, кольцо Z[x, y]/(xy) содержит x + (xy) и y + (xy) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов. В качестве другого примера, кольцо Z × Z содержит (1, 0) и (0, 1) как делители нуля, но не содержит ненулевых нильпотентных элементов. Кольцо Z/6Z редуцировано, однако Z/4Z не редуцировано: класс 2 + 4Z является нильпотентным. В общем случае, Z/nZ редуцировано тогда и только тогда, когда n = 0 или n свободно от квадратов. Если R — коммутативное кольцо, а N — его нилрадикал, то факторкольцо R/N редуцировано. Коммутативное кольцо R простой характеристики p редуцировано тогда и только тогда, когда его эндоморфизм Фробениуса инъективен (см. Совершенное поле).
Обобщения
Сокращенные кольца играют элементарную роль в алгебраической геометрии, где это понятие обобщается до понятия редуцированной схемы.