Введение
Модель отношений между высотами звука
В теории музыки пространства высоты звука моделируют отношения между высотами звука. Эти модели обычно используют расстояние для моделирования степени взаимосвязанности, при этом тесно связанные высоты звука располагаются близко друг к другу, а менее связанные – дальше друг от друга. В зависимости от сложности рассматриваемых отношений, модели могут быть многомерными. Модели пространства высоты звука часто представляют собой графы, группы, решетки или геометрические фигуры, такие как спирали. Пространства высоты звука различают высоты звука, связанные октавой. Когда высоты звука, связанные октавой, не различаются, мы имеем вместо этого пространства классов высоты звука, которые представляют отношения между классами высоты звука. (Некоторые из этих моделей обсуждаются в статье о модуляторном пространстве, хотя читателям следует знать, что термин "модуляторное пространство" не является стандартным музыкально-теоретическим термином.) Аккордовые пространства моделируют отношения между аккордами.
Линейное и спиральное пространство шага
Простейшая модель пространства высоты звука – это действительная прямая. Фундаментальная частота f отображается на действительное число p согласно уравнению. Это создает линейное пространство, в котором октавы имеют размер 12, полутоны (расстояние между соседними клавишами на клавиатуре фортепиано) имеют размер 1, а ноте до первой октавы (middle C) присваивается число 60, как и в MIDI. 440 Гц – стандартная частота ноты ля первой октавы ('concert A'), которая на 9 полутонов выше ноты до первой октавы. Расстояние в этом пространстве соответствует физическому расстоянию на клавишных инструментах, интервальным обозначениям в западной музыкальной нотации и психологическому восприятию расстояния, измеренному в психологических экспериментах и представляемому музыкантами. Система достаточно гибкая, чтобы включать "микротоны", отсутствующие на стандартных клавиатурах фортепиано. Например, высоту звука, находящуюся посередине между до (60) и до-диез (61), можно обозначить как 60.5. Одна из проблем линейного пространства высоты звука заключается в том, что оно не моделирует особое отношение между октавно-созвучными звуками или звуками, принадлежащими к одному классу высоты. Это побудило таких теоретиков, как Мориц Вильгельм Дробиш (1846) и Роджер Шепард (1982), моделировать отношения высоты звука с помощью спирали. В этих моделях линейное пространство высоты звука оборачивается вокруг цилиндра, так что все октавно-созвучные звуки лежат на одной линии. Однако при интерпретации этих моделей следует проявлять осторожность, поскольку неясно, как интерпретировать "расстояние" в трехмерном пространстве, содержащем спираль, и как интерпретировать точки в трехмерном пространстве, не лежащие на самой спирали.
This creates a linear space in which octaves have size 12, semitones (the distance between adjacent keys on the piano keyboard) have size 1, and middle C is assigned the number 60, as it is in MIDI. 440 Hz is the standard frequency of 'concert A', which is the note 9 semitones above 'middle C'. Distance in this space corresponds to physical distance on keyboard instruments, orthographical distance in Western musical notation, and psychological distance as measured in psychological experiments and conceived by musicians. The system is flexible enough to include "microtones" not found on standard piano keyboards. For example, the pitch halfway between C (60) and C# (61) can be labeled 60.5. One problem with linear pitch space is that it does not model the special relationship between octave related pitches, or pitches sharing the same pitch class. This has led theorists such as Moritz Wilhelm Drobisch (1846) and Roger Shepard (1982) to model pitch relations using a helix. In these models, linear pitch space is wrapped around a cylinder so that all octave related pitches lie along a single line. Care must be taken when interpreting these models however, as it is not clear how to interpret "distance" in the three dimensional space containing the helix; nor is it clear how to interpret points in the three dimensional space not contained on the helix itself.
История пространства для игры
Идея пространства высоты звука восходит, по крайней мере, к древнегреческим теоретикам музыки, известным как гармонисты. Цитируя одного из них, Бахия: "А что такое диаграмма? Изображение музыкальной системы. И мы используем диаграмму, чтобы для изучающих этот предмет вещи, которые трудно уловить на слух, предстали перед глазами." (Бахий, в "Франклин, Диатоническая музыка в Древней Греции".) Гармонисты рисовали геометрические схемы, чтобы визуально сравнивать интервалы различных ладов; таким образом они определяли положение интервалов в пространстве высоты звука. Многомерные пространства высоты звука также давно исследовались. Эйлер (1739) предложил использовать решетку для моделирования чистой интонации, используя ось чистых квинт и ось больших терций. Подобные модели интенсивно изучались в девятнадцатом веке, в основном теоретиками, такими как Эттинген и Риман (Cohn 1997). Современные теоретики, такие как Джеймс Тенни (1983) и В. А. Матье (1997), продолжают эту традицию. Мориц Вильгельм Дробиш (1846) первым предложил спираль (то есть спираль квинт) для представления октавной эквивалентности и повторения (Лердаль, 2001), и, следовательно, для создания модели пространства высоты звука. Роджер Шепард (1982) упорядочивает спираль Дробиша и расширяет её до двойной спирали, состоящей из двух цельнотоновых гамм на круге квинт, которую он называет "мелодической картой" (Лердаль, 2001). Майкл Тензер предлагает использовать её для балийской музыки гамелан, поскольку октавы не имеют соотношения 2:1 и, следовательно, октавная эквивалентность в ней еще меньше, чем в западной тональной музыке (Тензер, 2000). См. также хроматический круг.
"And what is a diagram? A representation of a musical system. And we use a diagram so that, for students of the subject, matters which are hard to grasp with the hearing may appear before their eyes." (Bacchius, in Franklin, Diatonic Music in Ancient Greece.) The Harmonists drew geometrical pictures so that the intervals of various scales could be compared visually; they thereby located the intervals in a pitch space. Higher dimensional pitch spaces have also long been investigated. The use of a lattice was proposed by Euler (1739) to model just intonation using an axis of perfect fifths and another of major thirds. Similar models were the subject of intense investigation in the nineteenth century, chiefly by theorists such as Oettingen and Riemann (Cohn 1997). Contemporary theorists such as James Tenney (1983) and W. A. Mathieu (1997) carry on this tradition. Moritz Wilhelm Drobisch (1846) was the first to suggest a helix (i. e. the spiral of fifths) to represent octave equivalence and recurrence (Lerdahl, 2001), and hence to give a model of pitch space. Roger Shepard (1982) regularizes Drobish's helix, and extends it to a double helix of two wholetone scales over a circle of fifths which he calls the "melodic map" (Lerdahl, 2001). Michael Tenzer suggests its use for Balinese gamelan music since the octaves are not 2:1 and thus there is even less octave equivalence than in western tonal music (Tenzer, 2000). See also chromatic circle.
Конструкция прибора
С 19-го века предпринималось множество попыток создать изоморфные клавиатуры, основанные на высотных пространствах. Пока что успеха добились лишь несколько раскладок аккордеона.