Введение

Критическая точка на графике поверхности, не являющаяся локальным экстремумом – математическое свойство.

В математике седловая точка, или точка мини-макса, — это точка на поверхности графика функции, в которой наклоны (производные) в ортогональных направлениях равны нулю (критическая точка), но которая при этом не является локальным экстремумом функции. Примером седловой точки может служить критическая точка, имеющая относительный минимум вдоль одного осевого направления (между максимумами) и относительный максимум вдоль пересекающей оси. Однако седловая точка не обязательно должна иметь такую форму. Например, функция имеет критическую точку, которая является седловой точкой, поскольку она не является ни относительным максимумом, ни относительным минимумом, но не имеет относительного максимума или минимума в направлении. Название происходит от того, что типичный пример в двух измерениях представляет собой поверхность, изогнутую вверх в одном направлении и вниз в другом, напоминающую конское седло. С точки зрения линий уровня, седловая точка в двух измерениях порождает карту линий уровня с парой пересекающихся в этой точке линий. Такие пересечения редки на реальных топографических картах, поскольку высота седловой точки вряд ли совпадет с целыми числами, используемыми на этих картах. Вместо этого седловая точка выглядит как пустое пространство в центре четырех наборов линий уровня, которые сходятся к ней и расходятся от нее. Для базовой седловой точки эти наборы образуют пары: противоположная пара высоких линий и противоположная пара низких линий, расположенные в ортогональных направлениях. Критические линии уровня, как правило, не обязаны пересекаться ортогонально.

Математическая дискуссия

Простой критерий для проверки того, является ли данная стационарная точка функции F(x, y) двух действительных переменных седловой точкой, заключается в вычислении гессианской матрицы функции в этой точке: если гессиан неопределён, то эта точка является седловой точкой. Например, гессианская матрица функции в стационарной точке является матрицей, которая неопределённа. Следовательно, эта точка является седловой точкой. Этот критерий даёт лишь достаточное условие. Например, точка является седловой точкой для функции, но гессианская матрица этой функции в начале координат является нулевой матрицей, которая не является неопределённой. В наиболее общем случае, седловой точкой для гладкой функции (график которой представляет собой кривую, поверхность или гиперповерхность) является стационарная точка, такая что кривая/поверхность/и т.д. в окрестности этой точки не лежит целиком ни по одну сторону от касательной плоскости в этой точке. В области одного измерения седловая точка – это точка, которая одновременно является стационарной точкой и точкой перегиба. Поскольку это точка перегиба, она не является локальным экстремумом.

Поверхность седла

Седельная поверхность — гладкая поверхность, содержащая одну или несколько седловых точек. Классическими примерами двухмерных седловых поверхностей в евклидовом пространстве являются поверхности второго порядка, гиперболический параболоид (который часто называют «седловой поверхностью» или «стандартным седлом») и однополостный гиперболоид. Чипсы Принглс — распространенный пример формы гиперболического параболоида. Седельные поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну, что отличает их от выпуклых/эллиптических поверхностей, обладающих положительной гауссовой кривизной. Классическим примером седловой поверхности третьего порядка является седло обезьяны.

Примеры

В игре с нулевой суммой для двух игроков, определённой на непрерывном пространстве, точка равновесия является точкой седла. Для линейной автономной системы второго порядка критическая точка является точкой седла, если характеристическое уравнение имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение. В задаче оптимизации с ограничениями равенства условия первого порядка описывают седловую точку лагранжиана.

Другие применения

В динамических системах, если динамика задана дифференцируемым отображением f, то точка является гиперболической тогда и только тогда, когда дифференциал ƒⁿ (где n — период точки) не имеет собственных значений на (комплексной) единичной окружности, вычисленных в этой точке. Седловая точка — это гиперболическая периодическая точка, у которой размерности устойчивого и неустойчивого многообразий не равны нулю. Седловой точкой матрицы называется элемент, являющийся одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке.