Принцип квантового действия Швингера: вариационный подход к квантовой механике и теории поля. Оператор действия, эквивалентный интегралу по траекториям.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Подход к квантовой теории
Approach to quantum theory
Принцип квантового действия Швингера — это вариационный подход к квантовой механике и квантовой теории поля. Эта теория была представлена Джулианом Швингером в серии статей, начиная с 1950 года.
The Schwinger's quantum action principle is a variational approach to quantum mechanics and quantum field theory. This theory was introduced by Julian Schwinger in a series of articles starting 1950.
Подход
В подходе Швингера принцип действия ориентирован на квантовую механику. Действие становится квантовым действием, то есть оператором, хотя оно и отличается на первый взгляд от интегрального представления по траекториям, где действие является классической функцией. Современные формулировки этих двух формализмов идентичны. Предположим, у нас есть два состояния, заданные значениями полного набора коммутирующих операторов в два момента времени. Пусть начальное и конечное состояния будут обозначены и , соответственно. Предположим, что в лагранжиане присутствует параметр, который можно варьировать, обычно источник для поля. Основное уравнение принципа квантового действия Швингера имеет вид:
In Schwingers approach, the action principle is targeted towards quantum mechanics. The action becomes a quantum action, i. e. an operator, Although it is superficially different from the path integral formulation where the action is a classical function, the modern formulation of the two formalisms are identical. Suppose we have two states defined by the values of a complete set of commuting operators at two times. Let the early and late states be and , respectively. Suppose that there is a parameter in the Lagrangian which can be varied, usually a source for a field. The main equation of Schwinger's quantum action principle is:
где производная берется по малым изменениям параметра, а – оператор Лагранжа. В интегральном представлении по траекториям амплитуда перехода представляется суммой по всем возможным траекториям с соответствующими граничными условиями, определяющими состояния и . Бесконечно малое изменение амплитуды очевидно задается формулой Швингера. И наоборот, исходя из формулы Швингера, легко показать, что поля удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям и классическим уравнениям движения, а следовательно, имеют интегральное представление по траекториям. Формулировка Швингера была особенно важна, поскольку она позволяла рассматривать фермионные антикоммутирующие поля тем же формализмом, что и бозонные поля, тем самым неявно вводя дифференцирование и интегрирование по антикоммутирующим координатам.
where the derivative is with respect to small changes in the parameter, and with the Lagrange operator. In the path integral formulation, the transition amplitude is represented by the sum over all histories of , with appropriate boundary conditions representing the states and The infinitesimal change in the amplitude is clearly given by Schwinger's formula. Conversely, starting from Schwinger's formula, it is easy to show that the fields obey canonical commutation relations and the classical equations of motion, and so have a path integral representation. Schwinger's formulation was most significant because it could treat fermionic anticommuting fields with the same formalism as bose fields, thus implicitly introducing differentiation and integration with respect to anti commuting coordinates.