Введение
Операторы, полезные в квантовой механике. Операторы создания и уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно в изучении квантовых гармонических осцилляторов и систем, состоящих из множества частиц. Оператор уничтожения (обычно обозначается как ) уменьшает число частиц в заданном состоянии на единицу. Оператор создания (обычно обозначается как ) увеличивает число частиц в заданном состоянии на единицу и является сопряжённым к оператору уничтожения. Во многих областях физики и химии использование этих операторов вместо волновых функций известно как вторая квантизация. Они были введены Полем Дираком. Операторы создания и уничтожения могут действовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы создания и уничтожения часто действуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к операторам повышения и понижения для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения интерпретируется как оператор создания, добавляющий квант энергии к системе осциллятора (аналогично для оператора понижения). Они могут быть использованы для описания фононов. Построение гамильтонианов с использованием этих операторов имеет то преимущество, что теория автоматически удовлетворяет теореме о кластерном разложении. Математический аппарат для операторов создания и уничтожения бозонов такой же, как и для операторов повышения и понижения квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов создания и уничтожения, связанных с одним и тем же бозонным состоянием, равен единице, а все остальные коммутаторы равны нулю. Однако для фермионов математический аппарат отличается и включает антикоммутаторы вместо коммутаторов.
Creation operators and annihilation operators are mathematical operators that have widespread applications in quantum mechanics, notably in the study of quantum harmonic oscillators and many particle systems. An annihilation operator (usually denoted ) lowers the number of particles in a given state by one. A creation operator (usually denoted ) increases the number of particles in a given state by one, and it is the adjoint of the annihilation operator. In many subfields of physics and chemistry, the use of these operators instead of wavefunctions is known as second quantization. They were introduced by Paul Dirac. Creation and annihilation operators can act on states of various types of particles. For example, in quantum chemistry and many body theory the creation and annihilation operators often act on electron states. They can also refer specifically to the ladder operators for the quantum harmonic oscillator. In the latter case, the raising operator is interpreted as a creation operator, adding a quantum of energy to the oscillator system (similarly for the lowering operator). They can be used to represent phonons. Constructing Hamiltonians using these operators has the advantage that the theory automatically satisfies the cluster decomposition theorem. The mathematics for the creation and annihilation operators for bosons is the same as for the ladder operators of the quantum harmonic oscillator. For example, the commutator of the creation and annihilation operators that are associated with the same boson state equals one, while all other commutators vanish. However, for fermions the mathematics is different, involving anticommutators instead of commutators.
Нормализация
В то время как Зи получает нормализацию в импульсном пространстве, используя симметричную конвенцию для преобразований Фурье, Тонг и Пескин и Шрёдер используют общепринятую асимметричную конвенцию для получения каждой производной. Сре́дницки дополнительно включает инвариантную меру Лоренца в свою асимметричную меру Фурье, , получая .
Srednicki additionally merges the Lorentz invariant measure into his asymmetric Fourier measure, , yielding .