Антигомоморфизм в математике: функция, меняющая порядок умножения. Определение, свойства, обратимость и связь с противоположными структурами и объектами.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Гомоморфизм, обращающий порядок чего-либо.
Homomorphism reversing the order of something
В математике антигомоморфизм — это тип функции, определенной на множествах с операцией умножения, который меняет порядок выполнения этой операции. Антиавтоморфизм — это обратимый антигомоморфизм, то есть антиизоморфизм, из множества в само себя. Из биективности следует, что антиавтоморфизмы имеют обратные элементы, и что обратный к антиавтоморфизму также является антиавтоморфизмом.
In mathematics, an antihomomorphism is a type of function defined on sets with multiplication that reverses the order of multiplication. An antiautomorphism is an invertible antihomomorphism, i. e. an antiisomorphism, from a set to itself. From bijectivity it follows that antiautomorphisms have inverses, and that the inverse of an antiautomorphism is also an antiautomorphism.
Определение
Неформально, антигомоморфизм – это отображение, меняющее порядок умножения. Формально, антигомоморфизм между структурами и – это гомоморфизм , где равно как множество, но умножение в нем обращено по сравнению с умножением, определенным в . Обозначая (в общем случае некоммутативное) умножение в через , умножение в , обозначаемое через , определяется как . Объект называется противоположным к (соответственно, противоположная группа, противоположная алгебра, противоположная категория и т.д.). Это определение эквивалентно определению гомоморфизма (инвертирование операции до или после применения отображения эквивалентно). Формально, отображение в и тождественное отображение на самих отображениях является функтором (фактически, инволюцией).
Informally, an antihomomorphism is a map that switches the order of multiplication. Formally, an antihomomorphism between structures and is a homomorphism , where equals as a set, but has its multiplication reversed to that defined on Denoting the (generally non commutative) multiplication on by , the multiplication on , denoted by , is defined by The object is called the opposite object to (respectively, opposite group, opposite algebra, opposite category etc.). This definition is equivalent to that of a homomorphism (reversing the operation before or after applying the map is equivalent). Formally, sending to and acting as the identity on maps is a functor (indeed, an involution).
Включения
Часто бывает так, что антиавтоморфизмы являются инволюциями, то есть квадрат антиавтоморфизма совпадает с тождественным отображением; такие антиавтоморфизмы также называют инволютивными. Например, в любой группе отображение, которое сопоставляет элементу x его обратный x⁻¹ является инволютивным антиавтоморфизмом. Кольцо с инволютивным антиавтоморфизмом называется * кольцом, и они составляют важный класс примеров.
It is frequently the case that antiautomorphisms are involutions, i. e. the square of the antiautomorphism is the identity map; these are also called involutive antiautomorphisms. For example, in any group the map that sends x to its inverse x−1 is an involutive antiautomorphism. A ring with an involutive antiautomorphism is called a * ring, and these form an important class of examples.
Свойства
Если источник X или цель Y коммутативны, то антигомоморфизм эквивалентен гомоморфизму. Композиция двух антигомоморфизмов всегда является гомоморфизмом, поскольку обращение порядка дважды возвращает исходный порядок. Композиция антигомоморфизма с гомоморфизмом даёт антигомоморфизм.
If the source X or the target Y is commutative, then an antihomomorphism is the same thing as a homomorphism. The composition of two antihomomorphisms is always a homomorphism, since reversing the order twice preserves order. The composition of an antihomomorphism with a homomorphism gives another antihomomorphism.