Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Каталонское тело с 24 гранями.
Catalan solid with 24 faces
В геометрии тетракис-гексаэдр (также известный как тетрагексаэдр, гексатетраэдр, тетракис-куб и кискуб) является каталонским телом. Его двойственное тело – усечённый октаэдр, архимедово тело. Его также можно назвать дисдиякис-гексаэдром или гексакис-тетраэдром, как двойственное тело всесторонне усечённого тетраэдра, и как барицентрическое разбиение тетраэдра.
In geometry, a tetrakis hexahedron (also known as a tetrahexahedron, hextetrahedron, tetrakis cube, and kiscube) is a Catalan solid. Its dual is the truncated octahedron, an Archimedean solid. It can be called a disdyakis hexahedron or hexakis tetrahedron as the dual of an omnitruncated tetrahedron, and as the barycentric subdivision of a tetrahedron.
Применение
Природно встречающиеся (кристаллические) образования тетрагексаэдров наблюдаются в системах меди и фторита. Многогранные кости в форме тетракисгексаэдра иногда используются игроками. 24-ячейка, рассматриваемая в перспективной проекции с вершины, имеет топологию поверхности тетракисгексаэдра и геометрические пропорции ромбического додекаэдра, при этом ромбические грани разделены на два треугольника. Тетракисгексаэдр является одним из простейших примеров в теории строительных структур. Рассмотрим риманово симметричное пространство, связанное с группой SL4(R). Его граница Тица имеет структуру сферического здания, квартирами которого являются двумерные сферы. Разбиение этой сферы на сферические симплексы (камеры) можно получить, взяв радиальную проекцию тетракисгексаэдра.
Naturally occurring (crystal) formations of tetrahexahedra are observed in copper and fluorite systems. Polyhedral dice shaped like the tetrakis hexahedron are occasionally used by gamers. A 24 cell viewed under a vertex first perspective projection has a surface topology of a tetrakis hexahedron and the geometric proportions of the rhombic dodecahedron, with the rhombic faces divided into two triangles. The tetrakis hexahedron appears as one of the simplest examples in building theory. Consider the Riemannian symmetric space associated to the group SL4(R). Its Tits boundary has the structure of a spherical building whose apartments are 2 dimensional spheres. The partition of this sphere into spherical simplices (chambers) can be obtained by taking the radial projection of a tetrakis hexahedron.
Размеры
Если мы обозначим длину ребра базового куба как a, то высота каждой пирамидальной вершины над кубом равна \tfrac{a}{4}. Наклон каждой треугольной грани пирамиды к грани куба составляет… Один из катетов равнобедренного треугольника имеет длину a, а два других – длину \tfrac{3a}{4}, что следует из применения теоремы Пифагора к высоте и половине основания. Это дает высоту треугольника, равную… Его площадь равна… а внутренние углы – … и дополнительный угол…
If we denote the edge length of the base cube by a, the height of each pyramid summit above the cube is \tfrac{a}{4}. The inclination of each triangular face of the pyramid versus the cube face is One edge of the isosceles triangles has length a, the other two have length \tfrac{3a}{4}, which follows by applying the Pythagorean theorem to height and base length. This yields an altitude of in the triangle Its area is and the internal angles are and the complementary
Объем пирамиды равен \tfrac{a^3}{12}; следовательно, общий объем шести пирамид и куба в гексаэдре составляет \tfrac{3a^3}{2}.
The volume of the pyramid is \tfrac{a^3}{12}; so the total volume of the six pyramids and the cube in the hexahedron is \tfrac{3a^3}{2}.
Клеетоп
Его можно представить как куб, на каждой квадратной грани которого расположены квадратные пирамиды; то есть это клетопа куба. Невыпуклая форма этой фигуры, состоящая из равносторонних треугольников, обладает той же геометрией поверхности, что и правильный октаэдр, и бумажную модель октаэдра можно перегнуть в эту форму. Эта форма тетракис-гексаэдра была изображена Леонардо да Винчи в книге «Divina proportione» (1509) Луки Пачоли. Эту невыпуклую форму тетракис-гексаэдра можно развернуть вдоль квадратных граней внутреннего куба, чтобы получить развертку четырехмерной кубической пирамиды.
It can be seen as a cube with square pyramids covering each square face; that is, it is the Kleetope of the cube. A non convex form of this shape, with equilateral triangle faces, has the same surface geometry as the regular octahedron, and a paper octahedron model can be re folded into this shape. This form of the tetrakis hexahedron was illustrated by Leonardo da Vinci in Luca Pacioli's Divina proportione (1509). This non convex form of the tetrakis hexahedron can be folded along the square faces of the inner cube as a net for a four dimensional cubic pyramid.
Связанные полиэдра и плитки
Это многогранник в последовательности, определяемой конфигурацией граней V4.6.2n. Эта группа примечательна тем, что имеет четное число ребер, сходящихся в каждой вершине, и формирует биссектрисы, проходящие через многогранники и бесконечные прямые в плоскости, продолжаясь в гиперболическую плоскость для любого n ≥ 7. Благодаря четному числу граней, сходящихся в каждой вершине, эти многогранники и мощения можно представить, чередуя два цвета так, чтобы все смежные грани имели разные цвета. Каждая грань в этих областях также соответствует фундаментальной области группы симметрии с зеркалами порядка 2, 3, n в каждой вершине треугольника.
It is a polyhedra in a sequence defined by the face configuration V4.6.2n. This group is special for having all even number of edges per vertex and form bisecting planes through the polyhedra and infinite lines in the plane, and continuing into the hyperbolic plane for any n ≥ 7. With an even number of faces at every vertex, these polyhedra and tilings can be shown by alternating two colors so all adjacent faces have different colors. Each face on these domains also corresponds to the fundamental domain of a symmetry group with order 2,3,n mirrors at each triangle face vertex.