Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Каталонское тело с 60 гранями.
Catalan solid with 60 faces
В геометрии триакис-икосаэдр — это архимедово дуальное тело, или каталонское тело, с 60 равнобедренными треугольными гранями. Его дуальным телом является усечённый додекаэдр. Его также называют кисикосаэдром. Впервые он был изображён в невыпуклой форме с равносторонними треугольными гранями Леонардо да Винчи в книге «Divina proportione» Луки Пачоли, где он был назван икосаэдром elevatum. Капсид вируса гепатита А имеет форму триакис-икосаэдра.
In geometry, the triakis icosahedron is an Archimedean dual solid, or a Catalan solid, with 60 isosceles triangle faces. Its dual is the truncated dodecahedron. It has also been called the kisicosahedron. It was first depicted, in a non convex form with equilateral triangle faces, by Leonardo da Vinci in Luca Pacioli's Divina proportione, where it was named the icosahedron elevatum. The capsid of the Hepatitis A virus has the shape of a triakis icosahedron.
Как клейтопа
Триакисский икосаэдр может быть образован путём приклеивания треугольных пирамид к каждой грани правильного икосаэдра. В зависимости от высоты этих пирамид относительно их основания, результат может быть как выпуклым, так и невыпуклым. Эта конструкция, заключающаяся в приклеивании пирамид к каждой грани, является примером общей конструкции, называемой клетопой; триакисский икосаэдр является клетопой икосаэдра. В одной из невыпуклых форм триакисского икосаэдра три треугольника, прилегающих к каждой пирамиде, лежат в одной плоскости и могут рассматриваться как образующие видимые части выпуклого шестиугольника в самопересекающемся многограннике с 20 шестиугольными гранями, который называется малым триамбическим икосаэдром. Альтернативно, для той же формы триакисского икосаэдра, тройки компланарных равнобедренных треугольников образуют грани первой звездной формы икосаэдра. Ещё одна невыпуклая форма с гранями в виде золотых равнобедренных треугольников образует внешнюю оболочку большого звёздного додекаэдра, полиэдра Кеплера — Пуансо с двенадцатью пентаграммами в качестве граней. Каждое ребро триакисского икосаэдра имеет конечные точки общей степени не менее 13. Согласно теореме Коцига, это максимально возможное значение для любого многогранника. Та же общая степень достигается при клетопе любого многогранника с минимальной степенью пять, но триакисский икосаэдр является самым простым примером этой конструкции. Хотя у этой клетопы грани в виде равнобедренных треугольников, итерация конструкции клетопы над ней приводит к выпуклым многогранникам с треугольными гранями, которые не могут быть все равнобедренными.
The triakis icosahedron can be formed by gluing triangular pyramids to each face of a regular icosahedron. Depending on the height of these pyramids relative to their base, the result can be either convex or non convex. This construction, of gluing pyramids to each face, is an instance of a general construction called the Kleetope; the triakis icosahedron is the Kleetope of the icosahedron. In another of the non convex forms of the triakis icosahedron, the three triangles adjacent to each pyramid are coplanar, and can be thought of as instead forming the visible parts of a convex hexagon, in a self intersecting polyhedron with 20 hexagonal faces that has been called the small triambic icosahedron. Alternatively, for the same form of the triakis icosahedron, the triples of coplanar isosceles triangles form the faces of the first stellation of the icosahedron. Yet another non convex form, with golden isosceles triangle faces, forms the outer shell of the great stellated dodecahedron, a Kepler–Poinsot polyhedron with twelve pentagram faces. Each edge of the triakis icosahedron has endpoints of total degree at least 13. By Kotzig's theorem, this is the most possible for any polyhedron. The same total degree is obtained from the Kleetope of any polyhedron with minimum degree five, but the triakis icosahedron is the simplest example of this construction. Although this Kleetope has isosceles triangle faces, iterating the Kleetope construction on it produces convex polyhedra with triangular faces that cannot all be isosceles.
Симметрия
В любой из своих стандартных выпуклых или невыпуклых форм, триакис-икосаэдр обладает теми же симметриями, что и правильный икосаэдр. Три типа осей симметрии икосаэдра, проходящие через две противоположные вершины, середины рёбер и центроиды граней, становятся соответственно осями, проходящими через противоположные пары вершин степени десять триакис-икосаэдра, через противоположные середины рёбер между вершинами степени десять, и через противоположные пары вершин степени три.
In any of its standard convex or non convex forms, the triakis icosahedron has the same symmetries as a regular icosahedron. The three types of symmetry axes of the icosahedron, through two opposite vertices, edge midpoints, and face centroids, become respectively axes through opposite pairs of degree ten vertices of the triakis icosahedron, through opposite midpoints of edges between degree ten vertices, and through opposite pairs of degree three vertices.