Введение
Эндоморфизм абелевой группы
In mathematics, the endomorphisms of an abelian group X form a ring. This ring is called the endomorphism ring of X, denoted by End(X); the set of all homomorphisms of X into itself. Addition of endomorphisms arises naturally in a pointwise manner and multiplication via endomorphism composition. Using these operations, the set of endomorphisms of an abelian group forms a (unital) ring, with the zero map as additive identity and the identity map as multiplicative identity. The functions involved are restricted to what is defined as a homomorphism in the context, which depends upon the category of the object under consideration. The endomorphism ring consequently encodes several internal properties of the object. As the endomorphism ring is often an algebra over some ring R, this may also be called the endomorphism algebra. An abelian group is the same thing as a module over the ring of integers, which is the initial object in the category of rings. In a similar fashion, if R is any commutative ring, the endomorphisms of an R module form an algebra over R by the same axioms and derivation. In particular, if R is a field, its modules M are vector spaces and the endomorphism ring of each is an algebra over the field R.
В математике эндоморфизмы абелевой группы X образуют кольцо. Это кольцо называется кольцом эндоморфизмов X и обозначается End(X) – множество всех гомоморфизмов X в себя. Сложение эндоморфизмов определяется естественным образом поточечно, а умножение – композицией эндоморфизмов. Используя эти операции, множество эндоморфизмов абелевой группы образует (унитальное) кольцо, где нулевое отображение является аддитивным нейтральным элементом, а тождественное отображение – мультипликативным нейтральным элементом. Рассматриваемые функции ограничены условием, что они должны быть гомоморфизмами в данном контексте, что зависит от категории рассматриваемого объекта. Кольцо эндоморфизмов, таким образом, кодирует ряд внутренних свойств объекта. Поскольку кольцо эндоморфизмов часто является алгеброй над некоторым кольцом R, его также можно назвать алгеброй эндоморфизмов. Абелева группа эквивалентна модулю над кольцом целых чисел, которое является начальным объектом в категории колец. Аналогично, если R – любое коммутативное кольцо, то эндоморфизмы R-модуля образуют алгебру над R, удовлетворяющую тем же аксиомам и свойствам. В частности, если R – поле, то его модули M являются векторными пространствами, а кольцо эндоморфизмов каждого из них является алгеброй над полем R.
In mathematics, the endomorphisms of an abelian group X form a ring. This ring is called the endomorphism ring of X, denoted by End(X); the set of all homomorphisms of X into itself. Addition of endomorphisms arises naturally in a pointwise manner and multiplication via endomorphism composition. Using these operations, the set of endomorphisms of an abelian group forms a (unital) ring, with the zero map as additive identity and the identity map as multiplicative identity. The functions involved are restricted to what is defined as a homomorphism in the context, which depends upon the category of the object under consideration. The endomorphism ring consequently encodes several internal properties of the object. As the endomorphism ring is often an algebra over some ring R, this may also be called the endomorphism algebra. An abelian group is the same thing as a module over the ring of integers, which is the initial object in the category of rings. In a similar fashion, if R is any commutative ring, the endomorphisms of an R module form an algebra over R by the same axioms and derivation. In particular, if R is a field, its modules M are vector spaces and the endomorphism ring of each is an algebra over the field R.
Описание
Пусть (A, +) — абелева группа, и рассмотрим групповые гомоморфизмы из A в A. Сложение двух таких гомоморфизмов можно определить поточечно, чтобы получить другой групповой гомоморфизм. Явно, для двух таких гомоморфизмов f и g, сумма f и g — это гомоморфизм f + g: x ↦ f(x) + g(x). При этой операции End(A) является абелевой группой. С дополнительной операцией композиции гомоморфизмов, End(A) является кольцом с единицей. Эта композиция явно определяется как fg: x ↦ f(g(x)). Единицей является тождественный гомоморфизм на A. Аддитивные обратные элементы — это поточечные обратные элементы. Если множество A не образует абелеву группу, то вышеуказанная конструкция не обязательно корректно определена, поскольку сумма двух гомоморфизмов не обязана быть гомоморфизмом. Однако замыкание множества эндоморфизмов относительно вышеуказанных операций является каноническим примером почти кольца, которое не является кольцом.
Свойства
Кольца эндоморфизмов всегда имеют аддитивную и мультипликативную единицы, соответственно, нулевое отображение и тождественное отображение. Кольца эндоморфизмов ассоциативны, но обычно некоммутативны. Если модуль прост, то его кольцо эндоморфизмов является областью целостности (это иногда называют леммой Шура). Модуль неразложим тогда и только тогда, когда его кольцо эндоморфизмов не содержит нетривиальных идемпотентов. Если модуль инъективный, то неразложимость эквивалентна тому, что кольцо эндоморфизмов является локальным кольцом. Для полупростого модуля кольцо эндоморфизмов является кольцом фон Неймана. Кольцо эндоморфизмов ненулевого правого унисериального модуля имеет либо один, либо два максимальных правых идеала. Если модуль артиновский, нётеровский, проективный или инъективный, то его кольцо эндоморфизмов имеет единственный максимальный идеал, то есть является локальным кольцом. Кольцо эндоморфизмов артиновского однородного модуля является локальным кольцом. Кольцо эндоморфизмов модуля с конечной длиной композиции является полупервичным кольцом. Кольцо эндоморфизмов непрерывного или дискретного модуля является чистым кольцом. Если R-модуль конечно порожден и проективен (то есть является прогенератором), то кольцо эндоморфизмов модуля и R обладают всеми инвариантными свойствами Мориты. Фундаментальный результат теории Мориты заключается в том, что все кольца, эквивалентные R, возникают как кольца эндоморфизмов прогенераторов.