Введение
Геометрическая поверхность
В геометрии псевдосфера — это поверхность с постоянной отрицательной гауссовой кривизной. Псевдосфера радиуса R является поверхностью, имеющей кривизну −1/R² в каждой точке. Своё название она получила по аналогии со сферой радиуса R, которая является поверхностью с кривизной 1/R². Термин был введен Эухенио Белтрами в его работе 1868 года, посвященной моделям гиперболической геометрии.
In geometry, a pseudosphere is a surface with constant negative Gaussian curvature. A pseudosphere of radius R is a surface in having curvature −1/R2 at each point. Its name comes from the analogy with the sphere of radius R, which is a surface of curvature 1/R2. The term was introduced by Eugenio Beltrami in his 1868 paper on models of hyperbolic geometry. TOC
Трактореоид
Та же поверхность также может быть описана как результат вращения трактрисы вокруг её асимптоты. По этой причине псевдосферу также называют трактроидом. В качестве примера, (половина) псевдосферы (с радиусом 1) является поверхностью вращения трактрисы, задаваемой параметрически. Это сингулярное пространство (экватор является сингулярностью), но вдали от сингулярностей оно имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну и, следовательно, локально изометрично гиперболической плоскости. Название "псевдосфера" происходит от того, что она имеет двухмерную поверхность с постоянной отрицательной гауссовой кривизной, подобно тому, как сфера имеет поверхность с постоянной положительной гауссовой кривизной. Как сфера в каждой точке имеет геометрию положительной кривизны, подобную куполу, так и вся псевдосфера в каждой точке имеет геометрию отрицательной кривизны, подобную седлу. Еще в 1693 году Кристиан Гюйгенс обнаружил, что объем и площадь поверхности псевдосферы конечны, несмотря на бесконечную протяженность формы вдоль оси вращения. Для заданного радиуса края R площадь равна 4πR², как и для сферы, а объем равен и, следовательно, составляет половину объема сферы того же радиуса. Псевдосфера является важным геометрическим предшественником математического искусства и педагогики.
It is a singular space (the equator is a singularity), but away from the singularities, it has constant negative Gaussian curvature and therefore is locally isometric to a hyperbolic plane. The name "pseudosphere" comes about because it has a two dimensional surface of constant negative Gaussian curvature, just as a sphere has a surface with constant positive Gaussian curvature. Just as the sphere has at every point a positively curved geometry of a dome the whole pseudosphere has at every point the negatively curved geometry of a saddle. As early as 1693 Christiaan Huygens found that the volume and the surface area of the pseudosphere are finite, despite the infinite extent of the shape along the axis of rotation. For a given edge radius R, the area is 4πR^(2) just as it is for the sphere, while the volume is and therefore half that of a sphere of that radius. The pseudosphere is an important geometric precursor to mathematical fabric arts and pedagogy.
Гиперболоид
В некоторых источниках, использующих гиперболоидную модель гиперболической плоскости, гиперболоид называют псевдосферой. Это связано с тем, что гиперболоид можно представить как сферу с мнимым радиусом, погруженную в пространство Минковского.
Псевдосферные поверхности
Псевдосферическая поверхность является обобщением псевдосферы. Поверхность, которая кусочно гладко погружена в пространство с постоянной отрицательной кривизной, является псевдосферической поверхностью. Трактроида — самый простой пример. Другие примеры включают поверхности Дини, дыхательные поверхности и поверхность Кюэна.