Введение
Полином с конечным числом членов вида axⁿ, где n ∈ ℕ.
В математике полином Лорана (названный в честь Пьера Альфонса Лорана) в одной переменной над полем представляет собой линейную комбинацию положительных и отрицательных степеней переменной с коэффициентами из поля. Полиномы Лорана образуют кольцо, обозначаемое как . Они отличаются от обычных полиномов тем, что могут содержать члены с отрицательной степенью. Построение полиномов Лорана может быть итерировано, приводя к кольцу полиномов Лорана от нескольких переменных. Полиномы Лорана играют важную роль в изучении комплексных переменных.
after Pierre Alphonse Laurent) in one variable over a field is a linear combination of positive and negative powers of the variable with coefficients in Laurent polynomials in form a ring denoted They differ from ordinary polynomials in that they may have terms of negative degree. The construction of Laurent polynomials may be iterated, leading to the ring of Laurent polynomials in several variables. Laurent polynomials are of particular importance in the study of complex variables.
Свойства
Полином Лорана над может рассматриваться как ряд Лорана, в котором конечное число коэффициентов отлично от нуля. Кольцо полиномов Лорана является расширением кольца полиномов, полученным посредством "обращения" в множитель. Более точно, это локализация кольца полиномов по мультипликативному множеству, состоящему из неотрицательных степеней . Многие свойства кольца полиномов Лорана вытекают из общих свойств локализации. Кольцо полиномов Лорана является подкольцом поля рациональных функций. Кольцо полиномов Лорана над полем является нётеровым (но не артиновым). Если является областью целостности, то единицы кольца полиномов Лорана имеют вид , где — единица в и — целое число. В частности, если — поле, то единицы кольца имеют вид , где — ненулевой элемент . Кольцо полиномов Лорана изоморфно кольцу группы группы целых чисел над . В более общем случае, кольцо полиномов Лорана от переменных изоморфно кольцу группы свободной абелевой группы ранга . Следовательно, кольцо полиномов Лорана можно снабдить структурой коммутативной, кокоммутативной алгебры Хопфа.