Введение

Финансовое измерение
В финансах, выпуклость облигации – это мера нелинейной зависимости цены облигации от изменения процентных ставок и определяется как вторая производная цены облигации по процентным ставкам (длительность – это первая производная). Как правило, чем выше длительность, тем сильнее цена облигации реагирует на изменение процентных ставок. Выпуклость облигаций является одной из наиболее фундаментальных и широко используемых форм выпуклости в финансах. Основой для разработки концепции выпуклости послужили работы Хон Фэй Лая, а популяризировал ее Стэнли Диллер.

Расчет выпуклости

Длительность – это линейная мера или первая производная, показывающая, как изменяется цена облигации в ответ на изменение процентных ставок. При изменении процентных ставок цена облигации вряд ли будет изменяться линейно, скорее она будет изменяться по криволинейной функции от процентных ставок. Чем более криволинейна ценовая функция облигации, тем менее точной является длительность как мера чувствительности к процентным ставкам. Выпуклость – это мера кривизны или вторая производная, показывающая, как цена облигации изменяется в зависимости от процентной ставки, то есть как изменяется длительность облигации при изменении процентной ставки. В частности, предполагается, что процентная ставка остается постоянной на протяжении всего срока действия облигации и что изменения процентных ставок происходят равномерно. При таких допущениях длительность можно определить как первую производную ценовой функции облигации по рассматриваемой процентной ставке, а выпуклость – как вторую производную этой функции по процентной ставке. В реальных рыночных условиях допущение о постоянных процентных ставках и равномерных изменениях неверно, и для точной оценки цен облигаций требуются более сложные модели. Однако эти упрощения позволяют быстро и легко рассчитать факторы, описывающие чувствительность цен облигаций к изменениям процентных ставок.

Почему выпуклость связей может отличаться

Чувствительность цены к параллельным изменениям структуры процентных ставок максимальна для облигаций с нулевым купоном и минимальна для амортизируемых облигаций (с платежами, сконцентрированными в начале срока). Хотя амортизируемая облигация и облигация с нулевым купоном демонстрируют разную чувствительность при одинаковом сроке погашения, при разных сроках погашения, но одинаковой дюрации, их чувствительность будет идентичной. Это означает, что их цены будут в равной степени подвержены влиянию небольших, линейных (и параллельных) сдвигов кривой доходности. Однако, из-за различий в датах и суммах платежей, они начнут изменяться на разные величины при каждом последующем параллельном изменении ставок. Для двух облигаций с одинаковой номинальной стоимостью, купоном и сроком погашения, выпуклость может различаться в зависимости от их положения на кривой цена-доходность.

Эффективная выпуклость

Для облигации со встроенным опционом, расчет выпуклости (и дюрации) на основе доходности к погашению не учитывает, как изменения кривой доходности повлияют на денежные потоки в результате реализации опциона. Для решения этой проблемы необходимо численно рассчитывать эффективную выпуклость. Эффективная выпуклость представляет собой дискретное приближение второй производной стоимости облигации как функции процентной ставки: см.